Expresar Desigualdades Lineales

Una desigualdad lineal compara dos cantidades usando un símbolo de desigualdad en lugar de un signo de igual. Antes de resolver cualquier desigualdad, necesitas saber cómo expresarla correctamente: cómo pasar de una frase en palabras, o de una situación de la vida real, a una expresión matemática con \(x\) u otra variable. Esta habilidad es la base para resolver desigualdades de uno o varios pasos.

Mientras que una ecuación lineal afirma que dos expresiones son exactamente iguales, como \(x + 3 = 7\), una desigualdad lineal afirma que una expresión es mayor, menor o distinta de otra, por ejemplo \(x + 3 < 7\). El grado de la variable sigue siendo 1, por eso se llama "lineal".

Para expresar una desigualdad lineal necesitas reconocer estos cuatro símbolos:

Los símbolos \(<\) y \(>\) son estrictos: el valor límite no forma parte de la solución. Los símbolos \(\le\) y \(\ge\) incluyen el valor límite.

La mayoría de los problemas dan pistas en palabras. Reconocer estas frases es el primer paso para expresar correctamente la desigualdad:

• "al menos", "mínimo", "no menos de" → \(\ge\)
• "como máximo", "a lo sumo", "no más de" → \(\le\)
• "más que", "excede", "supera" → \(>\)
• "menos que", "por debajo de" → \(<\)

Por ejemplo, si un letrero indica que "la edad para entrar debe ser de al menos 12 años", la desigualdad correcta es \(x \ge 12\), donde \(x\) representa la edad. Si un presupuesto dice que "el gasto no puede exceder los 50 dólares", se expresa como \(x \le 50\).

Ejemplo resuelto

Expresa la siguiente situación como una desigualdad lineal: "El número de estudiantes en el autobús debe ser menor que 45".

Sea \(x\) el número de estudiantes. La palabra clave es "menor que", así que la desigualdad es \(x < 45\).

Una vez expresada la desigualdad de forma simbólica, es útil dibujarla en una recta numérica. Un círculo abierto indica que el valor no está incluido, correspondiente a \(<\) o \(>\); un círculo cerrado indica que el valor sí está incluido, correspondiente a \(\le\) o \(\ge\). Luego se traza una flecha en la dirección de todos los valores que satisfacen la desigualdad.

Otra forma de expresar una desigualdad lineal es la notación de intervalos, muy usada más adelante al trabajar con desigualdades compuestas. Un paréntesis indica que el extremo no se incluye, y un corchete indica que sí se incluye.

• \(x > 3\) se escribe como \((3, \infty)\)
• \(x \le -2\) se escribe como \((-\infty, -2]\)
• \(5 \le x \le 10\) se escribe como \([5, 10]\)

Esta última forma corresponde a una desigualdad compuesta, es decir, dos condiciones aplicadas a la misma variable a la vez.

Una vez que sabes expresar una desigualdad lineal, el siguiente paso natural es aprender a resolverla. Si el enunciado tiene una sola operación, revisa cómo resolver desigualdades lineales en un paso. Si involucra varias operaciones combinadas, consulta cómo resolver desigualdades lineales en pasos múltiples. Y si el enunciado combina dos condiciones como en el ejemplo de intervalo \([5, 10]\), profundiza en desigualdades compuestas.

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