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Cómo Resolver Inecuaciones Lineales de un Paso

Lección sobre cómo resolver desigualdades lineales de un paso usando las propiedades de la suma, la resta, la multiplicación y la división, incluyendo la regla clave de invertir el símbolo al multiplicar o dividir por un número negativo, con ejemplos resueltos y representación en la recta numérica.

¿Qué es una desigualdad lineal de un paso?

Una desigualdad lineal de un paso es una expresión con los símbolos \(<\), \(>\), \(\le\) o \(\ge\) que se resuelve realizando una sola operación inversa. Es prácticamente igual a resolver una ecuación de un paso, con una diferencia muy importante que debes recordar siempre: al multiplicar o dividir ambos lados por un número negativo, el símbolo de la desigualdad se invierte.

Buscar "como resolver inecuaciones" suele llevar a este tipo de problema, así que aquí verás el procedimiento completo, paso a paso, con ejemplos y su representación gráfica.

Propiedad de la suma y la resta

Si sumas o restas el mismo número en ambos lados de una desigualdad, el símbolo no cambia. Esto funciona igual que en las ecuaciones.

Ejemplo: resuelve \( x + 5 \ge 12 \).

Resta 5 en ambos lados: \( x + 5 - 5 \ge 12 - 5 \), lo que da \( x \ge 7 \). La solución incluye todos los números mayores o iguales a 7.

Propiedad de la multiplicación y la división: invierte el signo

Puedes multiplicar o dividir ambos lados de una desigualdad por el mismo número, pero debes recordar esta regla:

Si multiplicas o divides por un número positivo, el símbolo se mantiene igual. Si multiplicas o divides por un número negativo, el símbolo se invierte.

Ejemplo: resuelve \( -3x < 15 \).

Divide ambos lados entre \( -3 \) e invierte el símbolo: \( x > -5 \).

Otro ejemplo: resuelve \( \dfrac{x}{-2} \le 4 \).

Multiplica ambos lados por \( -2 \) e invierte el símbolo: \( x \ge -8 \).

Cómo representar la solución en una recta numérica

Para la solución \( x > 3 \), se dibuja un círculo abierto en el número 3 (porque 3 no está incluido) y una flecha hacia la derecha que indica todos los valores mayores.

Solución de \( x > 3 \): círculo abierto en 3 y flecha hacia los valores mayores.

Si la solución fuera \( x \ge 3 \), el círculo se dibujaría relleno (cerrado), ya que el 3 sí formaría parte de la solución.

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 1. Resuelve \( x - 8 < -2 \). Suma 8 a ambos lados: \( x < 6 \). En notación de intervalo: \( (-\infty, 6) \).

Ejemplo 2. Resuelve \( 4x \le 20 \). Divide entre 4 (número positivo, el símbolo no cambia): \( x \le 5 \). En notación de intervalo: \( (-\infty, 5] \).

Ejemplo 3. Resuelve \( -\dfrac{x}{3} > 2 \). Multiplica por \( -3 \) e invierte el símbolo: \( x < -6 \).

Errores comunes

El error más frecuente es olvidar invertir el símbolo al multiplicar o dividir por un número negativo. Otro error es confundir el círculo abierto con el cerrado al graficar la solución: usa círculo abierto para \(<\) y \(>\), y círculo cerrado para \(\le\) y \(\ge\).

Una vez que domines este paso único, el siguiente reto natural es resolver desigualdades lineales en pasos múltiples, donde se combinan varias de estas operaciones. También es útil practicar cómo expresar desigualdades lineales gráficamente y algebraicamente, y más adelante trabajar con desigualdades compuestas, que unen dos condiciones en una sola solución.

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