Descomposición en Fracciones Parciales

La descomposición en fracciones parciales es el proceso de escribir una fracción racional (un polinomio dividido entre otro polinomio) como una suma de fracciones más simples. Es, en cierto sentido, el proceso inverso de sumar y restar expresiones racionales: en vez de combinar varias fracciones en una sola, partimos de una fracción y la separamos en piezas más pequeñas cuyo denominador es un solo factor (o una potencia de un factor) del denominador original.

Esta técnica es muy útil para simplificar expresiones antes de integrarlas, para resolver ciertas ecuaciones racionales y para analizar el comportamiento de funciones racionales cerca de sus asíntotas.

Antes de descomponer, hay que verificar que la fracción sea propia, es decir, que el grado del numerador sea menor que el grado del denominador. Si el grado del numerador es igual o mayor, primero se debe realizar la división del polinomio (como al dividir expresiones racionales) para obtener un cociente más un residuo que sí sea una fracción propia. Solo esa parte residual se descompone en fracciones parciales.

También conviene recordar cómo se factorizan y restringen las expresiones racionales, tal como se explica en simplificar expresiones racionales y sus restricciones, ya que el denominador nunca puede valer cero.

Todo depende de cómo esté factorizado el denominador. Existen cuatro casos principales:

Cuando el denominador es un producto de factores lineales distintos, a cada uno le corresponde una sola constante en el numerador. Descompongamos \( \dfrac{x+5}{(x-1)(x+2)} \):

Planteamos \( \dfrac{x+5}{(x-1)(x+2)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x+2} \). Multiplicando ambos lados por \( (x-1)(x+2) \) obtenemos \( x+5 = A(x+2) + B(x-1) \).

Sustituyendo \( x = 1 \): \( 1+5 = A(3) \), entonces \( A = 2 \). Sustituyendo \( x = -2 \): \( -2+5 = B(-3) \), entonces \( B = -1 \).

Por lo tanto: \( \dfrac{x+5}{(x-1)(x+2)} = \dfrac{2}{x-1} - \dfrac{1}{x+2} \). La gráfica siguiente muestra la función racional original, con sus asíntotas verticales en \( x=1 \) y \( x=-2 \):

Si un factor lineal aparece elevado a una potencia, se necesita una fracción por cada potencia, desde 1 hasta el exponente completo. Descompongamos \( \dfrac{3x-1}{(x-2)^2} \):

Planteamos \( \dfrac{3x-1}{(x-2)^2} = \dfrac{A}{x-2} + \dfrac{B}{(x-2)^2} \), lo que da \( 3x-1 = A(x-2) + B \).

Sustituyendo \( x = 2 \): \( 3(2)-1 = B \), entonces \( B = 5 \). Comparando el coeficiente de \( x \): \( A = 3 \).

Entonces: \( \dfrac{3x-1}{(x-2)^2} = \dfrac{3}{x-2} + \dfrac{5}{(x-2)^2} \).

Cuando el denominador tiene un factor cuadrático que no se puede factorizar en dos factores lineales reales, el numerador correspondiente debe ser lineal (\(Ax+B\)), no una sola constante. Descompongamos \( \dfrac{4x}{(x+1)(x^2+3)} \):

Planteamos \( \dfrac{4x}{(x+1)(x^2+3)} = \dfrac{A}{x+1} + \dfrac{Bx+C}{x^2+3} \), lo que da \( 4x = A(x^2+3) + (Bx+C)(x+1) \).

Sustituyendo \( x = -1 \): \( -4 = A(4) \), entonces \( A = -1 \). Comparando coeficientes de \( x^2 \) y de \( x \) se obtiene \( B = 1 \) y \( C = 3 \).

Entonces: \( \dfrac{4x}{(x+1)(x^2+3)} = \dfrac{-1}{x+1} + \dfrac{x+3}{x^2+3} \).

Este caso combina las ideas de los casos 2 y 3: si un factor cuadrático irreducible está elevado a una potencia \( n \), se necesita un término \( \dfrac{A_kx+B_k}{(x^2+bx+c)^k} \) para cada \( k \) desde 1 hasta \( n \). Por ejemplo, para \( (x^2+1)^2 \) en el denominador, la forma general es \( \dfrac{Ax+B}{x^2+1} + \dfrac{Cx+D}{(x^2+1)^2} \), y las constantes \( A, B, C, D \) se hallan igualando numeradores como en los casos anteriores.

Sin importar el caso, el procedimiento sigue siempre la misma lógica:

1. Verifica que la fracción sea propia; si no lo es, divide primero.

2. Factoriza por completo el denominador en factores lineales y cuadráticos irreducibles.

3. Escribe la descomposición usando la forma correcta para cada factor (lineal simple, lineal repetido, cuadrático simple o cuadrático repetido).

4. Multiplica ambos lados por el denominador común e iguala los numeradores.

5. Halla las constantes sustituyendo raíces convenientes o igualando coeficientes de potencias iguales de \( x \).

6. Comprueba el resultado sumando de nuevo las fracciones parciales para verificar que se obtiene la expresión original.

La descomposición en fracciones parciales aparece con frecuencia al resolver ecuaciones que involucran expresiones racionales complejas, como se ve en resolver ecuaciones racionales, donde separar una expresión en fracciones más simples puede facilitar el despeje de la variable.

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