Dividir Expresiones Racionales

Una expresion racional es una fraccion en la que el numerador y el denominador son polinomios, como \( \dfrac{x^2-9}{x+2} \). Dividir dos expresiones racionales es muy parecido a dividir dos fracciones numericas: en lugar de dividir directamente, se multiplica por el reciproco del divisor. La diferencia es que aqui, antes de multiplicar, casi siempre conviene factorizar los polinomios para poder cancelar factores comunes.

Para cualquier expresion racional \( \dfrac{a}{b} \) dividida entre \( \dfrac{c}{d} \), se cumple que:

\( \dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} \)

Es decir, se mantiene la primera fraccion igual, se invierte la segunda (se toma su reciproco) y el signo de division se cambia por multiplicacion. A partir de ahi, el procedimiento es el mismo que en multiplicar expresiones racionales: factorizar, cancelar y simplificar.

Sigue este orden para evitar errores:

1. Factoriza por completo cada numerador y cada denominador, tal como en simplificar expresiones racionales y sus restricciones.
2. Escribe la division como multiplicacion, invirtiendo la segunda fraccion (el divisor).
3. Cancela los factores comunes entre cualquier numerador y cualquier denominador.
4. Multiplica lo que queda en los numeradores y lo que queda en los denominadores.
5. Anota las restricciones: todos los valores que hacian cero algun denominador original (incluido el numerador del divisor, antes de invertirlo).

Al dividir, hay que cuidar dos cosas a la vez. Primero, ningun denominador de las fracciones originales puede ser cero. Segundo, como se divide entre \( \dfrac{c}{d} \), el numerador \( c \) tampoco puede ser cero, porque dividir entre una fraccion igual a cero no esta definido. Estas restricciones se conservan aunque, despues de simplificar, algun factor ya no aparezca en la expresion final.

Divide la siguiente expresion:

\( \dfrac{x^2-9}{x+2} \div \dfrac{x-3}{x^2-4} \)

Paso 1: factoriza. \( x^2-9 = (x-3)(x+3) \) y \( x^2-4 = (x-2)(x+2) \). La expresion queda:

\( \dfrac{(x-3)(x+3)}{x+2} \div \dfrac{x-3}{(x-2)(x+2)} \)

Paso 2: multiplica por el reciproco.

\( \dfrac{(x-3)(x+3)}{x+2} \times \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-3} \)

Paso 3: cancela factores comunes. El factor \( (x-3) \) se cancela y el factor \( (x+2) \) tambien se cancela, quedando:

\( (x+3)(x-2) \)

Paso 4: escribe el resultado con sus restricciones.

\( (x+3)(x-2) \), con \( x \ne -2, \ x \ne 2, \ x \ne 3 \)

Observa que \( x \ne 3 \) proviene del divisor original, aunque el factor \( (x-3) \) ya no aparezca en el resultado final.

El error mas frecuente es cancelar factores antes de invertir el divisor, lo que produce un resultado incorrecto. Tambien es comun olvidar factorizar por completo antes de simplificar, o perder de vista las restricciones que provienen del divisor. Dominar estos pasos prepara el camino para resolver ecuaciones racionales, donde la division y la multiplicacion de expresiones racionales se combinan con frecuencia.

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