Simplificar Expresiones Racionales y sus Restricciones

Una expresión racional es un cociente de dos polinomios, como \( \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} \). Igual que una fracción numérica se puede simplificar dividiendo numerador y denominador por un factor común, una expresión racional se simplifica factorizando ambos polinomios y cancelando los factores que comparten.

Sigue siempre este orden para no perder información sobre el dominio:

1. Factoriza completamente el numerador y el denominador.
2. Antes de cancelar nada, anota las restricciones: los valores de la variable que hacen cero al denominador original.
3. Cancela los factores comunes completos (nunca términos sueltos dentro de una suma).
4. Escribe la expresión simplificada junto con las restricciones encontradas en el paso 2.

Ejemplo de cancelación de factores

La división entre cero no está definida, así que cualquier valor de \( x \) que anule el denominador original queda excluido del dominio, aunque el factor correspondiente se cancele después. Por ejemplo:

\( \dfrac{x^2-4}{x-2} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \)

El factor \( (x-2) \) se cancela algebraicamente, pero \( x = 2 \) sigue siendo una restricción, porque en la expresión original produce una división entre cero. La versión simplificada \( x + 2 \) y la original no son idénticas: solo coinciden en todos los valores de \( x \) excepto en \( x = 2 \).

Simplifica \( \dfrac{x^2 - x - 6}{x^2 - 9} \) e indica las restricciones.

Paso 1. Factoriza ambos polinomios: el numerador \( x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2) \) y el denominador \( x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \).

Paso 2. Las restricciones vienen del denominador original: \( x \ne 3 \) y \( x \ne -3 \).

Paso 3. Cancela el factor común \( (x-3) \):

\( \dfrac{(x-3)(x+2)}{(x-3)(x+3)} = \dfrac{x+2}{x+3} \)

Resultado. \( \dfrac{x+2}{x+3} \), con \( x \ne 3 \) y \( x \ne -3 \).

Un error frecuente es cancelar términos que se suman o restan, en lugar de factores multiplicados: en \( \dfrac{x+2}{x+3} \) no se puede tachar la \( x \) de arriba con la \( x \) de abajo, porque no son factores completos de toda la expresión. Otro error es olvidar la restricción \( x \ne -3 \) simplemente porque ese factor ya no aparece en la respuesta final; la restricción siempre depende del denominador original, no del simplificado.

Una vez que domines la factorización y las restricciones, este mismo procedimiento es la base para multiplicar expresiones racionales, para sumar y restar expresiones racionales con distinto denominador, y para resolver ecuaciones racionales sin introducir soluciones extrañas.

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