Factorización de Trinomios: ax al Cuadrado más bx más c

Cuando el coeficiente principal de un trinomio no es 1, es decir, cuando trabajamos con una expresión de la forma \( ax^2+bx+c \) con \( a \ne 1 \), la factorización requiere un paso extra respecto al caso más sencillo \( x^2+bx+c \). En esta lección aprenderás el método del producto \( ac \), también llamado descomposición, que convierte el trinomio en cuatro términos agrupables.

Factorizar un trinomio significa escribirlo como el producto de dos binomios. Si ya conoces el caso donde \( a=1 \), revisa primero la lección de factorización de \( x^2+bx+c \), porque las ideas de base (buscar dos números relacionados con \( b \) y \( c \)) son las mismas, solo que ahora el coeficiente \( a \) también entra en el cálculo.

Antes de aplicar cualquier método, siempre conviene revisar si el trinomio tiene un factor común a todos sus términos. Si lo tiene, sácalo primero: consulta factores comunes de polinomios para repasar esa técnica, ya que simplifica mucho el trabajo posterior.

Para factorizar \( ax^2+bx+c \) sigue estos pasos:

1. Calcula el producto \( a \times c \).

2. Encuentra dos números cuyo producto sea \( ac \) y cuya suma sea \( b \).

3. Reescribe el término \( bx \) usando esos dos números, dividiendo el trinomio en cuatro términos.

4. Agrupa los términos en pares y factoriza cada par por separado (factorización por agrupación).

5. Extrae el binomio común, que queda multiplicado por lo que sobra de cada grupo.

Aquí \( a=2 \), \( b=7 \), \( c=3 \), así que \( ac = 6 \). Buscamos dos números que multiplicados den 6 y sumados den 7: son 6 y 1.

Reescribimos el término medio: \( 2x^2+6x+x+3 \).

Agrupamos: \( (2x^2+6x)+(x+3) \).

Factorizamos cada grupo: \( 2x(x+3)+1(x+3) \).

El binomio \( (x+3) \) es común, entonces: \( 2x^2+7x+3 = (x+3)(2x+1) \).

Este último paso es exactamente la técnica de factorización de polinomios por agrupación, así que si este paso te resulta confuso conviene repasarla antes de continuar.

Aquí \( a=6 \), \( b=-5 \), \( c=-6 \), así que \( ac=-36 \). Necesitamos dos números que multiplicados den menos 36 y sumados den menos 5: son menos 9 y 4.

Reescribimos: \( 6x^2-9x+4x-6 \).

Agrupamos: \( (6x^2-9x)+(4x-6) \).

Factorizamos cada grupo: \( 3x(2x-3)+2(2x-3) \).

El binomio común es \( (2x-3) \), entonces: \( 6x^2-5x-6 = (2x-3)(3x+2) \).

Comprueba multiplicando: \( (2x-3)(3x+2) = 6x^2+4x-9x-6 = 6x^2-5x-6 \). El resultado coincide, así que la factorización es correcta.

Cada binomio de la factorización corresponde a una raíz del trinomio. En el primer ejemplo, \( 2x^2+7x+3 = (x+3)(2x+1) \), las raíces son \( x=-3 \) y \( x=-\frac{1}{2} \), es decir, los puntos donde la parábola \( y=2x^2+7x+3 \) cruza el eje x.

Si al graficar el trinomio la parábola no cruza el eje x exactamente en los valores que obtuviste con los binomios, es señal de que hay un error de signo o de cálculo en alguno de los pasos anteriores.

Al factorizar \( ax^2+bx+c \) es fácil cometer estos errores:

Olvidar sacar primero un factor común, lo que complica innecesariamente los números que hay que buscar.

Confundir el producto \( ac \) con el coeficiente \( c \) solo, ignorando el valor de \( a \).

Elegir dos números que sumen \( b \) pero cuyo producto no sea exactamente \( ac \), o viceversa.

No verificar el resultado final multiplicando los binomios obtenidos para confirmar que reproducen el trinomio original.

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