Suma y Resta de Expresiones Racionales

Una expresion racional es una fraccion en la que el numerador y el denominador son polinomios, por ejemplo \( \dfrac{3}{x} \) o \( \dfrac{x+2}{x^2-4} \). Sumar y restar este tipo de fracciones sigue la misma logica que sumar y restar fracciones numericas, pero antes conviene repasar como simplificar expresiones racionales y sus restricciones, porque siempre habra valores de x que queden excluidos del dominio.

Cuando dos expresiones racionales ya tienen el mismo denominador, solo se suman o restan los numeradores y el denominador se mantiene igual:

\( \dfrac{a}{d} + \dfrac{b}{d} = \dfrac{a+b}{d} \)    y    \( \dfrac{a}{d} - \dfrac{b}{d} = \dfrac{a-b}{d} \)

Ejemplo 1. Simplifica \( \dfrac{3}{x} + \dfrac{5}{x} \).

Como el denominador es el mismo, se suman directamente los numeradores: \( \dfrac{3}{x} + \dfrac{5}{x} = \dfrac{3+5}{x} = \dfrac{8}{x} \), con la restriccion \( x \ne 0 \).

Cuando los denominadores son distintos, el primer paso es factorizar cada denominador por completo. Esto permite ver que factores se repiten y cuales faltan para construir el minimo comun denominador (MCD), que es el producto de todos los factores distintos, cada uno elevado a su mayor potencia.

Ejemplo 2. Simplifica \( \dfrac{2}{x+1} + \dfrac{3}{x-2} \).

Los denominadores \( x+1 \) y \( x-2 \) ya estan factorizados y no comparten factores, asi que el minimo comun denominador es su producto: \( (x+1)(x-2) \). Se multiplica cada fraccion por la parte que le falta:

\( \dfrac{2(x-2)}{(x+1)(x-2)} + \dfrac{3(x+1)}{(x+1)(x-2)} = \dfrac{2(x-2)+3(x+1)}{(x+1)(x-2)} \)

Se expande el numerador: \( 2x-4+3x+3 = 5x-1 \). El resultado final es \( \dfrac{5x-1}{(x+1)(x-2)} \), con las restricciones \( x \ne -1 \) y \( x \ne 2 \).

Al restar, el signo negativo se distribuye sobre todo el numerador de la segunda fraccion, no solo sobre el primer termino. Este es el error mas comun en este tema.

Ejemplo 3. Simplifica \( \dfrac{4}{x^2-9} - \dfrac{2}{x+3} \).

Primero se factoriza el denominador \( x^2-9 = (x-3)(x+3) \), un paso de factorizacion de denominadores que revela el MCD: \( (x-3)(x+3) \). La segunda fraccion necesita el factor \( (x-3) \):

\( \dfrac{4}{(x-3)(x+3)} - \dfrac{2(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \dfrac{4-2(x-3)}{(x-3)(x+3)} \)

Al distribuir el signo negativo en \( 4-2(x-3) = 4-2x+6 = 10-2x \), y factorizando \( 2 \) del numerador queda \( \dfrac{2(5-x)}{(x-3)(x+3)} \), con las restricciones \( x \ne 3 \) y \( x \ne -3 \).

Despues de sumar o restar, revisa si el numerador y el denominador comparten un factor comun para simplificar la fraccion resultante, y enumera siempre los valores que hacen cero al denominador original, aunque ya no aparezcan en el denominador final. Estos pasos de suma y resta son la base para resolver ecuaciones racionales, y conviene compararlos con las reglas para multiplicar expresiones racionales, donde no se necesita un comun denominador.

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