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Resta de Funciones: (f menos g)(x)

Esta leccion explica que es la resta de funciones, la formula (f - g)(x) = f(x) - g(x), como distribuir el signo negativo correctamente, como evaluar la funcion resultante en un valor especifico y como determinar su dominio a partir de las funciones originales, con ejemplos resueltos y una grafica de apoyo.

¿Qué es la resta de funciones?

Restar funciones es una operación que combina dos funciones, \( f(x) \) y \( g(x) \), para crear una nueva función llamada \( (f - g)(x) \). Esta operación forma parte del álgebra de funciones, junto con la suma, la multiplicación y la división, y es una extensión natural de lo que ya sabes sobre la notación de funciones.

La fórmula para restar funciones

Para restar dos funciones simplemente restas sus expresiones algebraicas:

\( (f - g)(x) = f(x) - g(x) \)

El resultado es una función completamente nueva, evaluable en cualquier valor de \( x \) que pertenezca al dominio de ambas funciones originales. Es importante recordar que el orden importa: \( (f - g)(x) \) no es lo mismo que \( (g - f)(x) \), a menos que ambas expresiones coincidan.

Ejemplo paso a paso

Supongamos que \( f(x) = x^2 + 1 \) y \( g(x) = 2x - 1 \). Para encontrar \( (f - g)(x) \), sustituimos ambas expresiones y simplificamos:

\( (f - g)(x) = (x^2 + 1) - (2x - 1) \)

\( (f - g)(x) = x^2 + 1 - 2x + 1 \)

\( (f - g)(x) = x^2 - 2x + 2 \)

Observa que el signo negativo se distribuye a cada término de \( g(x) \), cambiando el signo de \( 2x \) y de \( -1 \). Este paso es donde más se cometen errores, así que revisa siempre los signos con cuidado antes de combinar términos semejantes.

Evaluar la resta de funciones en un valor específico

Si quieres evaluar \( (f - g)(x) \) en un valor concreto, por ejemplo \( x = 3 \), puedes sustituir directamente en la función resultante o restar los valores individuales:

\( f(3) = 3^2 + 1 = 10 \) y \( g(3) = 2(3) - 1 = 5 \), entonces \( (f - g)(3) = 10 - 5 = 5 \).

Ambos caminos, sustituir primero en \( (f - g)(x) \) o restar los valores calculados por separado, siempre dan el mismo resultado.

Dominio de la función resultante

El dominio de \( (f - g)(x) \) es la intersección de los dominios de \( f(x) \) y \( g(x) \): solo los valores de \( x \) donde ambas funciones originales están definidas pueden usarse en la función resta. Si necesitas repasar cómo identificar estos valores, consulta la lección sobre dominio y rango de una función.

Comparando la gráfica de la diferencia

Usando el ejemplo anterior, \( (f - g)(x) = x^2 - 2x + 2 \) es una parábola. Aunque \( g(x) \) es lineal, el resultado sigue siendo cuadrático porque el término \( x^2 \) proviene de \( f(x) \) y domina el comportamiento general de la nueva función.

Gráfica de \( (f - g)(x) = x^2 - 2x + 2 \)

Relación con otras operaciones entre funciones

La resta de funciones es una de varias formas de combinar dos funciones en una sola expresión. Si en cambio necesitas evaluar una función dentro de otra, ese proceso se llama composición y se explica en la lección de funciones compuestas.

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