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Funciones Compuestas

Esta lección explica qué son las funciones compuestas, cómo escribir y leer la notación f(g(x)) y cómo evaluar una composición de funciones paso a paso. También aprenderás a hallar el dominio de una función compuesta con ejemplos resueltos y una gráfica de apoyo.

¿Qué es una función compuesta?

Una función compuesta se forma cuando el resultado de una función se convierte en la entrada de otra. A este proceso se le llama composición de funciones y permite combinar dos reglas distintas en una sola expresión. Antes de continuar, conviene tener claro cómo reconocer una regla como función; si necesitas repasarlo, revisa la lección de identificando funciones.

Notación de las funciones compuestas

La composición de dos funciones \( f \) y \( g \) se escribe como \( (f \circ g)(x) \) o como \( f(g(x)) \). Ambas expresiones significan exactamente lo mismo: primero se evalúa \( g(x) \) y ese resultado se sustituye dentro de \( f(x) \). Si aún no dominas cómo se lee y se escribe \( f(x) \), repasa antes la notación de funciones, ya que la composición depende directamente de entender esa notación.

Cómo evaluar una función compuesta paso a paso

Para evaluar \( (f \circ g)(x) \) sigue estos pasos:

Identifica cuál función va dentro (la función interna) y cuál va fuera (la función externa).
Evalúa primero la función interna, \( g(x) \).
Sustituye el resultado obtenido en la función externa, \( f(x) \).
Simplifica la expresión final.

Diagrama del proceso de composición: la salida de \( g \) se convierte en la entrada de \( f \).

Ejemplo resuelto

Sean \( f(x) = x^2 \) y \( g(x) = x + 1 \). Calculemos \( (f \circ g)(x) \):

Primero evaluamos la función interna: \( g(x) = x + 1 \).

Luego sustituimos ese resultado dentro de \( f(x) \): \( f(g(x)) = (x+1)^2 \).

Si expandimos, obtenemos \( (f \circ g)(x) = x^2 + 2x + 1 \). Por ejemplo, para \( x = 2 \): \( g(2) = 3 \) y \( f(3) = 9 \), por lo tanto \( (f \circ g)(2) = 9 \).

Gráfica de la función compuesta \( (f \circ g)(x) = x^2 + 2x + 1 \).

Observa que el orden importa: si en cambio calculamos \( (g \circ f)(x) \), obtenemos \( g(f(x)) = x^2 + 1 \), que es una función distinta. Por eso, en general, \( (f \circ g)(x) \ne (g \circ f)(x) \).

Dominio de una función compuesta

El dominio de \( (f \circ g)(x) \) incluye únicamente los valores de \( x \) que pertenecen al dominio de \( g \) y para los cuales \( g(x) \) también pertenece al dominio de \( f \). Si alguna de las dos funciones tiene restricciones, como una raíz cuadrada o una fracción, esas restricciones afectan directamente a la composición. Repasa el dominio y rango de una función si necesitas reforzar este concepto antes de trabajar con restricciones más complejas.

Errores comunes al trabajar con funciones compuestas

Un error frecuente es confundir \( (f \circ g)(x) \) con el producto \( f(x) \cdot g(x) \); son operaciones completamente distintas. Otro error común es sustituir en el orden incorrecto, es decir, evaluar primero \( f \) en lugar de \( g \). Recuerda siempre leer la notación de derecha a izquierda: la función más cercana a \( x \) se aplica primero.

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