Resolver Ecuaciones Exponenciales con Logaritmos

Una ecuacion exponencial es aquella en la que la variable aparece en el exponente, como \( 2^x = 8 \) o \( 5^{x+1} = 30 \). Cuando ambos lados de la ecuacion se pueden escribir con la misma base, basta con igualar los exponentes. Pero muchas veces esto no es posible, por ejemplo en \( 3^x = 20 \), porque 20 no es una potencia exacta de 3. En esos casos usamos logaritmos para "bajar" el exponente y poder despejar la variable.

Si entiendes bien que es un logaritmo, recordaras que un logaritmo responde a la pregunta: «a que exponente hay que elevar la base para obtener este numero?». Esa relacion es justo lo que necesitamos aqui, porque nos permite pasar la variable del exponente a un lugar donde podemos despejarla como cualquier otra incognita.

La propiedad clave que usamos es la regla de la potencia de los logaritmos: \( \log(a^x) = x\log(a) \). Gracias a esta propiedad, el exponente x se convierte en un factor que multiplica al logaritmo de la base, y entonces la ecuacion se vuelve lineal en x.

El procedimiento general tiene cuatro pasos:

Resolvemos \( 3^x = 20 \). Como 20 no es una potencia exacta de 3, aplicamos logaritmo en ambos lados:

\( \log(3^x) = \log(20) \)

Usamos la regla de potencia para bajar el exponente:

\( x\log(3) = \log(20) \)

Y despejamos x dividiendo entre \( \log(3) \):

\( x = \dfrac{\log(20)}{\log(3)} \approx 2.73 \)

Puedes comprobar el resultado sustituyendo este valor aproximado en la ecuacion original y verificando que \( 3^{2.73} \) se acerca a 20.

Cuando la base es el numero \( e \), conviene usar el logaritmo natural porque \( \ln(e) = 1 \), lo que simplifica mucho el trabajo. Resolvamos \( e^{2x} = 15 \):

\( \ln(e^{2x}) = \ln(15) \)

\( 2x = \ln(15) \)

\( x = \dfrac{\ln(15)}{2} \approx 1.35 \)

Observa que al usar ln y base e, el exponente aparece directamente sin necesidad de dividir entre otro logaritmo, porque \( \ln(e^{2x}) = 2x\ln(e) = 2x \).

Tambien puedes encontrar ecuaciones donde la variable aparece en dos exponentes distintos, como \( 5^{x} = 2^{x+1} \). El procedimiento no cambia: aplicas logaritmo en ambos lados, bajas ambos exponentes y agrupas los terminos con x.

\( \log(5^x) = \log(2^{x+1}) \)

\( x\log(5) = (x+1)\log(2) \)

\( x\log(5) - x\log(2) = \log(2) \)

\( x\big(\log(5) - \log(2)\big) = \log(2) \)

\( x = \dfrac{\log(2)}{\log(5) - \log(2)} \approx 0.76 \)

La grafica de una funcion exponencial como \( y = 2^x \) ayuda a entender por que la ecuacion \( 2^x = 10 \) tiene exactamente una solucion: la curva cruza la horizontal \( y = 10 \) en un solo punto, y ese punto de interseccion es justo el valor de x que obtienes al resolver con logaritmos.

Este metodo es el inverso del que se usa para resolver ecuaciones logaritmicas, donde la variable esta dentro de un logaritmo en lugar de en un exponente. Tambien conviene repasar como convertir de forma logaritmica a forma exponencial, ya que esa equivalencia es la base de todo lo que hacemos al aplicar logaritmos a una ecuacion exponencial.

Un error frecuente es aplicar el logaritmo solo a un termino en lugar de a la expresion completa de cada lado. Recuerda que el logaritmo se aplica a toda la ecuacion, y que la regla de potencia solo baja el exponente cuando la base y el exponente forman una sola potencia, no cuando hay sumas o restas dentro del exponente antes de agrupar terminos.

Related lessons

• Es Algebra Help