¿Qué es un Logaritmo?

Un logaritmo es, en pocas palabras, una forma distinta de escribir una potencia. En vez de preguntar "¿cuánto vale \(b\) elevado a \(y\)?", un logaritmo responde a la pregunta inversa: "¿a qué exponente hay que elevar la base \(b\) para obtener el número \(x\)?". Esa idea es la base de toda la teoría de logaritmos, y entenderla bien es el primer paso antes de aprender a evaluarlos, combinarlos o resolver ecuaciones con ellos.

Formalmente, se escribe así:

\( \log_b(x) = y \) ⇐⇒ \( b^y = x \), con \( b > 0 \), \( b \ne 1 \) y \( x > 0 \).

Estas dos expresiones dicen exactamente lo mismo, solo que de dos maneras diferentes. Si sabes pasar de una a la otra, ya tienes la mitad del trabajo hecho para resolver casi cualquier problema con logaritmos.

Piensa en el logaritmo como el "espejo" de la potencia. Por ejemplo, sabemos que \(2^3 = 8\). Esa misma relación, escrita como logaritmo, es \( \log_2(8) = 3 \). En ambos casos hay tres cantidades involucradas: la base, el exponente y el resultado de la potencia; lo único que cambia es cuál de ellas queda "despejada".

El siguiente esquema muestra cómo se corresponden los tres elementos en ambas formas:

Si quieres practicar este cambio de una forma a otra con más ejemplos y casos especiales, puedes revisar la lección sobre convertir de logaritmo a forma exponencial.

En la expresión \( \log_b(x) = y \):

• Base (\(b\)): el número que se eleva a una potencia. Debe ser positivo y distinto de 1.
• Argumento (\(x\)): el número resultante de la potencia; siempre debe ser positivo.
• Resultado (\(y\)): el exponente al que hay que elevar la base para obtener el argumento.

Cuando no se escribe ninguna base, se asume que es 10 (\( \log(x) \) significa \( \log_{10}(x) \)). Existe también una base especial, el número \(e \approx 2.718\), que da lugar al logaritmo natural, escrito como \( \ln(x) \). Puedes profundizar en ese caso particular en la lección de logaritmo natural.

Para visualizar cómo se comporta un logaritmo, observa la gráfica de \( y = \log_2(x) \). Nota que la función solo existe para \(x > 0\), crece muy lentamente y pasa siempre por el punto donde \(x = 1\), ya que cualquier base elevada a 0 da 1.

Observa en la gráfica que \( \log_2(1) = 0 \), \( \log_2(2) = 1 \) y \( \log_2(8) = 3 \), coherente con que \(2^0 = 1\), \(2^1 = 2\) y \(2^3 = 8\).

Ejemplo 1. Evalúa \( \log_3(9) \).

Nos preguntamos: ¿a qué exponente se eleva 3 para obtener 9? Como \(3^2 = 9\), entonces \( \log_3(9) = 2 \).

Ejemplo 2. Evalúa \( \log_5(1) \).

Cualquier base elevada a 0 da 1, así que \( \log_5(1) = 0 \).

Ejemplo 3. Escribe \( 10^4 = 10000 \) como logaritmo.

La base es 10, el exponente es 4 y el resultado es 10000, entonces \( \log_{10}(10000) = 4 \).

Estos ejemplos usan bases sencillas para poder resolverse mentalmente. Para más estrategias con números menos evidentes, revisa la lección sobre evaluar logaritmos sin calculadora.

Los logaritmos aparecen cuando una cantidad crece o decrece de forma exponencial y necesitamos despejar el exponente: por ejemplo, para calcular cuánto tiempo tarda una inversión en duplicarse, para medir la intensidad de un sismo o el nivel de acidez de una sustancia. En álgebra, dominar el concepto de logaritmo es también el punto de partida para aprender sus propiedades (como el logaritmo de un producto o de un cociente) y para resolver ecuaciones logarítmicas más adelante.

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