Dimensiones de Rectángulos con Ecuaciones Lineales

Muchos problemas de álgebra describen un rectángulo dando pistas sobre cómo se relacionan su ancho y su largo, y algún dato numérico como el perímetro. Tu trabajo es traducir esas pistas en una o varias ecuaciones lineales, resolverlas y así encontrar las medidas reales de la figura. Este tipo de problema es muy parecido a encontrar números desconocidos con ecuaciones lineales, solo que ahora las incógnitas representan longitudes.

Antes de plantear cualquier ecuación necesitas recordar dos fórmulas. La fórmula del perímetro de un rectángulo es \( P = 2(l + w) \), donde \( l \) es el largo y \( w \) es el ancho. La fórmula del área es \( A = l \times w \). En esta lección trabajamos casos donde la relación entre el perímetro y el área conduce a una ecuación lineal (una sola variable elevada a la primera potencia), no a una ecuación cuadrática.

El paso más importante es leer con cuidado la relación que da el problema entre el largo y el ancho, y escribirla como una expresión algebraica. Algunas frases comunes son:

• "El largo es el doble del ancho" se escribe \( l = 2w \).
• "El largo es 3 metros más que el ancho" se escribe \( l = w + 3 \).
• "El largo es 3 más que el doble del ancho" se escribe \( l = 2w + 3 \).
• "El ancho es 5 menos que el largo" se escribe \( w = l - 5 \).

Una vez que tienes esa expresión, la combinas con la fórmula del perímetro o del área y perímetro de un rectángulo para formar una ecuación con una sola incógnita.

1. Asigna una variable al ancho (por ejemplo, \( w \)) y escribe el largo en términos de esa misma variable usando la relación del enunciado.
2. Escribe la ecuación del perímetro, \( 2(l + w) = P \), o la relación que te dé el problema.
3. Sustituye la expresión del largo dentro de esa ecuación para dejar solo la variable \( w \).
4. Resuelve la ecuación lineal resultante para \( w \).
5. Usa el valor de \( w \) para calcular \( l \) con la expresión que escribiste en el paso 1.
6. Comprueba que ambos valores satisfacen la fórmula original del perímetro (o del área).

El perímetro de un jardín rectangular es 30 metros. El largo es 3 metros más que el doble del ancho. Encuentra las dimensiones del jardín.

Sea \( w \) el ancho. Entonces el largo es \( l = 2w + 3 \). La fórmula del perímetro da \( 2(l + w) = 30 \), es decir \( l + w = 15 \). Sustituyendo:

\( (2w + 3) + w = 15 \)

\( 3w + 3 = 15 \)

\( 3w = 12 \)

\( w = 4 \)

Entonces \( l = 2(4) + 3 = 11 \). Comprobación: \( 2(4 + 11) = 30 \), correcto. El ancho mide 4 metros y el largo mide 11 metros.

El largo de una mesa rectangular es el triple del ancho menos 2 pulgadas. Si el perímetro es 44 pulgadas, encuentra las dimensiones de la mesa.

Aquí \( l = 3w - 2 \) y \( 2(l + w) = 44 \), lo que da \( l + w = 22 \). Sustituyendo:

\( (3w - 2) + w = 22 \)

\( 4w - 2 = 22 \)

\( 4w = 24 \)

\( w = 6 \)

Entonces \( l = 3(6) - 2 = 16 \). Comprobación: \( 2(6 + 16) = 44 \), correcto.

Este mismo problema también se puede escribir como un sistema de dos ecuaciones, \( l - 3w = -2 \) y \( l + w = 22 \), y resolverse con el método de sustitución o con el método de eliminación, obteniendo exactamente el mismo resultado.

• Confundir la fórmula del perímetro \( P = 2(l + w) \) con la del área \( A = l \times w \).
• Olvidar distribuir el 2 al expandir \( 2(l + w) \).
• Sustituir mal la expresión del largo y perder el signo de un término negativo.
• No comprobar el resultado final en la fórmula original del perímetro o del área.

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