Método de Sustitución para Sistemas de Ecuaciones

El método de sustitución es una técnica algebraica para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos variables, generalmente \(x\) y \(y\). La idea central es despejar una de las variables en una de las ecuaciones y luego sustituir esa expresión en la otra ecuación. De esta forma, el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se convierte en una sola ecuación con una sola incógnita, la cual ya sabes resolver.

Este método es especialmente útil cuando una de las ecuaciones ya tiene una variable despejada o se puede despejar fácilmente, por ejemplo \(y = 2x + 1\). Si prefieres visualizar el sistema como la intersección de dos rectas, puedes revisar el método gráfico para resolver sistemas de ecuaciones, que ofrece otra perspectiva de la misma solución.

1. Despeja una variable en una de las dos ecuaciones (elige la que sea más sencilla de despejar).
2. Sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación, reemplazando esa variable.
3. Resuelve la ecuación resultante, que ahora tiene una sola incógnita.
4. Sustituye el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar la segunda variable.
5. Verifica la solución \((x, y)\) comprobando que satisface ambas ecuaciones originales.

Resuelve el sistema:

\( y = 2x + 1 \)

\( x + y = 7 \)

Como la primera ecuación ya tiene \(y\) despejada, sustituimos esa expresión en la segunda ecuación:

\( x + (2x + 1) = 7 \)

\( 3x + 1 = 7 \)

\( 3x = 6 \)

\( x = 2 \)

Ahora sustituimos \(x = 2\) en \(y = 2x + 1\):

\( y = 2(2) + 1 = 5 \)

La solución del sistema es \((2, 5)\). Puedes comprobarla sustituyendo estos valores en \(x + y = 7\): \(2 + 5 = 7\), lo cual es correcto.

Resuelve el sistema:

\( 2x + y = 9 \)

\( 3x - 2y = 4 \)

Ninguna ecuación tiene una variable despejada de forma inmediata, así que despejamos \(y\) en la primera ecuación:

\( y = 9 - 2x \)

Sustituimos esta expresión en la segunda ecuación:

\( 3x - 2(9 - 2x) = 4 \)

\( 3x - 18 + 4x = 4 \)

\( 7x = 22 \)

\( x = \dfrac{22}{7} \)

Este resultado no es un número entero, lo cual es perfectamente válido. Sustituyendo de vuelta se obtiene el valor correspondiente de \(y\). Este ejemplo muestra que la sustitución funciona igual sin importar si los valores finales son fracciones o números enteros.

Al sustituir, en ocasiones la variable se cancela por completo. Si obtienes una afirmación falsa como \(0 = 5\), el sistema no tiene solución porque las rectas son paralelas. Si obtienes una afirmación siempre verdadera como \(0 = 0\), el sistema tiene infinitas soluciones porque ambas ecuaciones representan la misma recta. Para profundizar en cómo identificar estos casos antes de resolver, revisa la lección sobre cómo determinar el número de soluciones de un sistema de ecuaciones.

Un error frecuente es sustituir la expresión despejada en la misma ecuación de la que se obtuvo, en lugar de sustituirla en la otra ecuación; esto no reduce el número de incógnitas y no permite avanzar. Otro error común es olvidar distribuir el signo negativo al sustituir una expresión entre paréntesis, como en \(3x - 2(9 - 2x)\). Revisa siempre cada paso con cuidado antes de continuar.

La sustitución no es la única forma de resolver sistemas de ecuaciones. Cuando ambas ecuaciones tienen coeficientes que se pueden cancelar sumando o restando, el método de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones puede ser más rápido. La elección del método depende de cómo estén escritas las ecuaciones del problema.

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