Ley del Cociente de Potencias de Igual Base

Cuando divides dos potencias que tienen exactamente la misma base, no necesitas multiplicar todos los factores uno por uno. En su lugar, puedes usar un atajo llamado la ley del cociente de potencias de igual base: simplemente restas los exponentes. Esta ley es una de las reglas de exponentes mas usadas en algebra, junto con la ley de la potencia de una potencia y otras reglas relacionadas.

Para cualquier base \( x \ne 0 \) y exponentes enteros \( m \) y \( n \), se cumple que:

\( \dfrac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \)

Es decir, al dividir dos potencias con la misma base, conservas la base y restas el exponente del denominador al exponente del numerador.

Piensa en \( \dfrac{x^5}{x^2} \). Si escribes cada potencia como una multiplicacion repetida:

\( \dfrac{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x}{x \cdot x} \)

Puedes cancelar dos factores de \( x \) en el numerador con los dos del denominador, y quedan tres factores de \( x \) sin cancelar. Por eso el resultado es \( x^3 \), que es exactamente lo que predice la formula: \( 5 - 2 = 3 \).

Simplifica \( \dfrac{a^7}{a^4} \).

Paso 1: identifica que ambas potencias tienen la misma base, \( a \).

Paso 2: resta los exponentes: \( 7 - 4 = 3 \).

Paso 3: escribe el resultado con la base original: \( \dfrac{a^7}{a^4} = a^3 \).

Otro ejemplo con numeros: simplifica \( \dfrac{5^8}{5^6} \).

Como la base es \( 5 \) en ambos casos, restas los exponentes: \( 8 - 6 = 2 \), asi que \( \dfrac{5^8}{5^6} = 5^2 = 25 \).

A veces la resta de exponentes da como resultado cero o un numero negativo, y es importante saber interpretar esos casos.

Si el numerador y el denominador tienen el mismo exponente, por ejemplo \( \dfrac{x^4}{x^4} \), la resta da \( 4 - 4 = 0 \), y sabemos que cualquier base distinta de cero elevada a cero es igual a \( 1 \): \( x^0 = 1 \).

Si el exponente del denominador es mayor que el del numerador, por ejemplo \( \dfrac{x^2}{x^5} \), la resta da un exponente negativo: \( x^{2-5} = x^{-3} \). Para escribir este resultado sin exponentes negativos, revisa la regla del exponente negativo, que permite convertirlo en \( \dfrac{1}{x^3} \).

Un error frecuente es intentar aplicar esta ley cuando las bases son diferentes, por ejemplo en \( \dfrac{x^5}{y^2} \). La ley del cociente solo funciona cuando ambas potencias comparten exactamente la misma base; si las bases son distintas, no puedes restar los exponentes.

Otro error comun es restar en el orden incorrecto. Recuerda que siempre se resta el exponente del denominador al del numerador, y no al reves: \( \dfrac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \), nunca \( x^{n-m} \).

La ley del cociente de potencias de igual base suele combinarse con otras reglas cuando simplificas expresiones mas largas. Una vez que domines esta ley, te resultara util revisar como combinar las leyes de los exponentes para resolver problemas que mezclan productos, cocientes y potencias de potencias en una sola expresion.

Related lessons

• Es Algebra Help