Ley de la Potencia de un Cociente

La ley de la potencia de un cociente es una de las reglas de los exponentes que permite elevar una fracción (un cociente) a una potencia. En lugar de multiplicar la fracción por sí misma varias veces, esta ley dice que puedes elevar por separado el numerador y el denominador al mismo exponente.

Formalmente, para cualquier número entero \( n \) y para \( b \ne 0 \):

\( \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n} \)

Esta condición \( b \ne 0 \) es importante: si el denominador fuera cero, la fracción original no existiría, así que la regla nunca se aplica en ese caso.

Sigue estos pasos para elevar una fracción a una potencia usando la ley de la potencia de un cociente:

1. Identifica el numerador \( a \), el denominador \( b \) y el exponente \( n \).

2. Eleva el numerador a la potencia \( n \) para obtener \( a^n \).

3. Eleva el denominador a la misma potencia \( n \) para obtener \( b^n \).

4. Escribe el resultado como la nueva fracción \( \dfrac{a^n}{b^n} \) y simplifica si es posible.

Ejemplo 1 (con números): Simplifica \( \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 \).

\( \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{2^3}{3^3} = \dfrac{8}{27} \)

Ejemplo 2 (con variables): Simplifica \( \left(\dfrac{x}{y}\right)^4 \).

\( \left(\dfrac{x}{y}\right)^4 = \dfrac{x^4}{y^4} \)

Ejemplo 3 (con coeficientes y variables juntos): Simplifica \( \left(\dfrac{2x}{5y}\right)^2 \).

\( \left(\dfrac{2x}{5y}\right)^2 = \dfrac{(2x)^2}{(5y)^2} = \dfrac{4x^2}{25y^2} \)

Cuando el exponente \( n \) es negativo, primero conviene invertir la fracción y cambiar el signo del exponente, tal como se explica en la lección de exponente negativo. La regla queda así:

\( \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{n} \)

Ejemplo: Simplifica \( \left(\dfrac{3}{4}\right)^{-2} \).

\( \left(\dfrac{3}{4}\right)^{-2} = \left(\dfrac{4}{3}\right)^{2} = \dfrac{16}{9} \)

La ley de la potencia de un cociente se parece a la ley de la potencia de un producto, pero esta última se aplica a una multiplicación elevada a una potencia, no a una división. Tampoco debes confundirla con la regla del cociente de potencias de igual base, que se usa cuando divides dos potencias con la misma base en lugar de elevar una fracción completa a un exponente.

En expresiones más largas, es común combinar esta ley con la ley de la potencia de una potencia y otras propiedades para simplificar por completo el resultado final.

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