Forma Polar de un Número Complejo

Todo número complejo \( z = a + bi \) puede representarse de dos maneras equivalentes: en forma rectangular, usando su parte real \(a\) y su parte imaginaria \(b\), o en forma polar, usando la distancia de ese punto al origen y el ángulo que forma con el eje real. Si ya conoces el plano complejo, la forma polar simplemente describe el mismo punto con otras dos coordenadas: un módulo \(r\) y un ángulo \(\theta\).

Para escribir \( z = a + bi \) en forma polar se usa la expresión:

\( z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \)

El módulo \(r\) es la distancia del punto al origen y se calcula con \( r = \sqrt{a^2 + b^2} \). El argumento \(\theta\) es el ángulo medido desde el eje real positivo y se calcula con \( \theta = \tan^{-1}\left(\dfrac{b}{a}\right) \), ajustando el resultado según el cuadrante en el que se encuentre el punto. Esta expresión suele abreviarse como \( r \) cis \( \theta \), una forma corta de escribir \( r(\cos\theta + i\sin\theta) \).

Sigue estos pasos para convertir cualquier número complejo:

1. Identifica la parte real \(a\) y la parte imaginaria \(b\) del número complejo.
2. Calcula el módulo con \( r = \sqrt{a^2 + b^2} \).
3. Calcula el ángulo con \( \theta = \tan^{-1}\left(\dfrac{b}{a}\right) \), corrigiendo el cuadrante si es necesario según los signos de \(a\) y \(b\).
4. Escribe el resultado como \( z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \).

Convierte \( z = 3 + 4i \) a forma polar.

El módulo es \( r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \).

El ángulo es \( \theta = \tan^{-1}\left(\dfrac{4}{3}\right) \approx 53.13^\circ \). Como \(a\) y \(b\) son positivos, el punto está en el primer cuadrante, así que no es necesario ajustar el ángulo.

Por lo tanto, \( 3 + 4i = 5(\cos 53.13^\circ + i\sin 53.13^\circ) \).

Una gran ventaja de la forma polar es que simplifica la multiplicación y división de números complejos: al multiplicar dos números en forma polar se multiplican los módulos y se suman los ángulos, y al dividir se dividen los módulos y se restan los ángulos. Esto evita tener que distribuir términos como se hace en la forma rectangular.

Antes de trabajar con la forma polar conviene tener claro qué es un número imaginario; si necesitas repasar ese concepto, revisa la introducción a los números imaginarios antes de continuar.

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