La escala de Richter es una aplicacion clasica de los logaritmos en base 10 para comparar la energia liberada por un terremoto. Se explica su formula, que significa cada unidad de magnitud y se resuelven ejemplos numericos.
¿Qué es una escala logarítmica?
Algunos fenómenos naturales, como la energía liberada por un terremoto, pueden variar entre valores extremadamente pequeños y extremadamente grandes. Si intentáramos representar esos valores en una escala normal (lineal), necesitaríamos números enormes y sería difícil comparar un sismo con otro. Para resolver esto, los científicos usan una escala logarítmica: en lugar de medir la intensidad directamente, se mide el logaritmo en base 10 de esa intensidad.
Esto significa que cada vez que la intensidad real se multiplica por 10, el valor en la escala logarítmica solo aumenta en 1 unidad. Si todavía no tienes claro qué es exactamente un logaritmo, conviene repasar primero ¿Qué es un logaritmo? antes de continuar con esta lección.
La fórmula de la escala de Richter
La escala de Richter mide la magnitud \( M \) de un terremoto comparando la intensidad de las ondas sísmicas \( I \) con una intensidad de referencia \( I_0 \) (la intensidad más pequeña detectable). La fórmula es:
\( M = \log_{10}\left(\dfrac{I}{I_0}\right) \)
Observa que esta expresión es, en el fondo, el logaritmo de un cociente. Si quieres repasar cómo se manejan las divisiones dentro de un logaritmo, revisa la lección sobre el logaritmo de un cociente. También puedes reescribir esta fórmula en forma exponencial como \( 10^{M} = \dfrac{I}{I_0} \), tal como se explica en Convirtiendo de logaritmo a forma exponencial.
Cómo interpretar los cambios de magnitud
Como la base del logaritmo es 10, cada unidad completa de magnitud representa una intensidad 10 veces mayor. Por ejemplo, un sismo de magnitud 6 no es apenas "un poco más fuerte" que uno de magnitud 5: es 10 veces más intenso en amplitud de onda. Para comparar dos sismos con magnitudes \( M_1 \) y \( M_2 \), usamos:
\( \dfrac{I_2}{I_1} = 10^{M_2 - M_1} \)
Esta fórmula viene directamente de despejar la intensidad en la ecuación logarítmica original, es decir, de convertir la expresión logarítmica en su forma exponencial equivalente.
La gráfica muestra cómo la magnitud \( M = \log_{10}(I/I_0) \) crece muy lentamente aunque la intensidad relativa \( I/I_0 \) crezca muchísimo. Esa es la esencia de una escala logarítmica: comprime números enormes en una escala manejable.
Ejemplo resuelto
Un terremoto tiene magnitud \( M_1 = 4 \) y otro tiene magnitud \( M_2 = 6 \). ¿Cuántas veces más intenso es el segundo terremoto?
El terremoto de magnitud 6 tiene una intensidad 100 veces mayor que el de magnitud 4, aunque la diferencia entre las magnitudes sea de solo 2 unidades. Este tipo de cálculo requiere evaluar potencias de 10 con exponentes enteros; si necesitas practicar esto sin calculadora, revisa Evaluando logaritmos sin calculadora.
Despejando la magnitud desconocida
También puedes usar la fórmula de Richter para encontrar \( M \) cuando conoces \( I \) e \( I_0 \), o para despejar \( I \) cuando conoces \( M \). En ambos casos, el procedimiento es el mismo que al resolver cualquier ecuación logarítmica: aislar el logaritmo y luego convertir a forma exponencial, o aplicar el logaritmo a ambos lados de una ecuación exponencial.
Por ejemplo, si \( I/I_0 = 5000 \), entonces \( M = \log_{10}(5000) \approx 3.70 \). Estos procedimientos de despeje se explican con más detalle en la lección de Resolviendo ecuaciones logarítmicas.