Explicacion paso a paso de la serie geometrica infinita: que significa que converja, la condicion sobre la razon comun r, la formula de la suma S = a1 sobre (1 menos r) y ejemplos resueltos para practicar.
Introduction
Una serie geométrica infinita es la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica, es decir, una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón común \( r \). A diferencia de una serie geometrica finita, aquí no hay un último término: la suma se extiende sin detenerse. Lo sorprendente es que, bajo ciertas condiciones, esa suma infinita puede tener un valor finito y concreto.
¿Qué es una serie geométrica infinita?
Si partimos de una progresion geometrica con primer término \( a_1 \) y razón común \( r \), la serie infinita asociada se escribe como:
\( S = a_1 + a_1 r + a_1 r^2 + a_1 r^3 + \dots \)
También se puede expresar de forma compacta usando la notacion sigma: \( S = \sum_{n=0}^{\infty} a_1 r^n \). El comportamiento de esta suma depende por completo del valor de \( r \).
Condición de convergencia: \( |r| < 1 \)
Para que una serie geométrica infinita tenga una suma finita, la razón común debe cumplir \( -1 < r < 1 \), es decir \( |r| < 1 \). Cuando esto ocurre, cada término es más pequeño en valor absoluto que el anterior, y los términos se acercan cada vez más a cero. Aunque se sumen infinitos términos, la cantidad total que se va agregando se vuelve tan pequeña que la suma se estabiliza en un número fijo. Decimos entonces que la serie converge.
Si en cambio \( |r| \ge 1 \), los términos no se reducen (o incluso crecen), la suma nunca se estabiliza y la serie diverge; en ese caso no existe una suma infinita como número finito.
Los términos de una serie geométrica con \( r = 0.5 \) se acercan a cero a medida que aumenta el índice, lo que permite que la suma total converja.
Fórmula de la suma infinita
Cuando \( |r| < 1 \), la suma de la serie geométrica infinita se calcula con la fórmula:
\( S = \dfrac{a_1}{1-r} \)
Esta fórmula se obtiene tomando el límite de la suma parcial de una serie geométrica finita, \( S_n = a_1 \dfrac{1-r^n}{1-r} \), cuando el número de términos crece sin límite. Como \( |r| < 1 \), el término \( r^n \) se acerca a cero, y la expresión se reduce exactamente a \( \dfrac{a_1}{1-r} \).
Ejemplo resuelto
Calcula la suma de la serie \( 4 + 2 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dots \)
Primero identificamos \( a_1 = 4 \) y la razón común dividiendo un término entre el anterior: \( r = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \). Como \( |r| = \dfrac{1}{2} < 1 \), la serie converge y podemos aplicar la fórmula:
Aunque sumáramos un número enorme de términos, el resultado nunca superaría 8; se acerca cada vez más a ese valor sin sobrepasarlo.
Errores comunes
Un error frecuente es aplicar la fórmula \( S = \dfrac{a_1}{1-r} \) sin comprobar primero si \( |r| < 1 \). Si la razón común es igual o mayor que 1 en valor absoluto, la serie no converge y la fórmula no tiene sentido, ya que no existe una suma finita. Otro error común es confundir esta suma infinita con la fórmula de la suma parcial \( S_n \) de las series aritmeticas o geométricas finitas, que sí depende del número de términos \( n \) y no requiere ninguna condición sobre \( r \).