Graficar Funciones Lineales Usando una Tabla de Valores

Una funcion lineal es una ecuacion cuya grafica siempre es una linea recta. Una de las formas mas sencillas de dibujar esa recta es usando una tabla de valores: se elige un conjunto de valores para \(x\), se calcula el valor correspondiente de \(y\) y despues se ubican esos pares ordenados en el plano cartesiano.

Una tabla de valores es simplemente una lista organizada de pares ordenados \((x, y)\) que satisfacen una ecuacion lineal. Por ejemplo, para la ecuacion \(y = 2x - 1\), si sustituimos distintos valores de \(x\) obtenemos distintos valores de \(y\). Cada pareja \((x, y)\) representa un punto que pertenece a la recta.

El proceso siempre sigue el mismo orden:

1. Escribe la ecuacion en la forma \(y = mx + b\) si todavia no esta despejada.
2. Elige al menos tres o cuatro valores sencillos para \(x\) (por ejemplo, \(-2, -1, 0, 1, 2\)).
3. Sustituye cada valor de \(x\) en la ecuacion y calcula el valor de \(y\).
4. Organiza los resultados en una tabla con columnas para \(x\) y \(y\).
5. Ubica cada par ordenado \((x, y)\) en el plano cartesiano.
6. Traza una linea recta que conecte todos los puntos, extendiendola en ambas direcciones.

Como una recta queda completamente determinada por dos puntos, en realidad bastan dos valores de \(x\) para graficarla. Sin embargo, calcular un tercer punto sirve como comprobacion: si los tres puntos no quedan alineados, hubo un error en algun calculo.

Grafica la funcion lineal \(y = 2x - 1\) usando una tabla de valores.

Elegimos cinco valores de \(x\) y calculamos el valor de \(y\) correspondiente:

Ahora ubicamos los pares ordenados \((-2, -5)\), \((-1, -3)\), \((0, -1)\), \((1, 1)\) y \((2, 3)\) en el plano cartesiano y trazamos la recta que pasa por todos ellos.

Observa que todos los puntos quedan perfectamente alineados, lo cual confirma que los calculos de la tabla son correctos. La pendiente de esta recta tambien se puede verificar con la ecuacion de la pendiente, ya que entre cualquier par de puntos de la tabla el cambio en \(y\) dividido entre el cambio en \(x\) siempre da \(2\).

Grafica \(y = -x + 3\) usando una tabla de valores.

Aqui, a medida que \(x\) aumenta, \(y\) disminuye, por lo que la recta desciende de izquierda a derecha. Este comportamiento esta directamente relacionado con la razon de cambio de la funcion: una pendiente negativa siempre produce una recta descendente.

• Sustituir mal un valor negativo de \(x\) al elevarlo o multiplicarlo (por ejemplo, olvidar el signo).
• Elegir solo valores de \(x\) muy cercanos entre si, lo que hace dificil trazar la recta con precision.
• Ubicar el par ordenado al reves, confundiendo el valor de \(x\) con el de \(y\).
• No verificar que los puntos queden alineados antes de trazar la recta final.

Si una ecuacion lineal esta escrita en forma general \(Ax + By + C = 0\), conviene despejar \(y\) primero para facilitar la sustitucion de valores en la tabla.

Toda funcion lineal tiene la propiedad de que su grafica es una linea recta, y una linea recta queda determinada por dos puntos cualesquiera. Al calcular varios pares ordenados con una tabla de valores, estamos generando puntos que garantizadamente pertenecen a esa recta, por lo que conectar esos puntos siempre produce la grafica correcta de la funcion.

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