Encontrar una Función Logarítmica Dada su Gráfica

Cuando ves la gráfica de una curva con forma de "ese" acostada, que crece o decrece lentamente y se acerca cada vez más a una línea vertical sin tocarla nunca, casi siempre estás frente a una función logarítmica. Encontrar su ecuación a partir de la gráfica consiste en leer con cuidado unas pocas características visuales y traducirlas en los parámetros de la fórmula general.

Toda función logarítmica que aparece en estos problemas se puede escribir como

\( f(x) = a\log_b(x - h) + k \)

donde \( b \) es la base del logaritmo, \( h \) desplaza la gráfica horizontalmente, \( k \) la desplaza verticalmente y \( a \) controla si la curva crece o decrece y qué tan "estirada" se ve. Si nunca has trabajado con esta notación, conviene repasar primero qué es un logaritmo antes de continuar.

La asíntota vertical es la clave para encontrar \( h \). En la gráfica se ve como una línea punteada (o simplemente un valor de \( x \) que la curva nunca cruza) hacia la cual la función se acerca infinitamente. Si la asíntota está en \( x = h \), entonces ese mismo número aparece dentro del logaritmo como \( x - h \).

Por ejemplo, si la curva se acerca a la recta \( x = 1 \) pero nunca la toca, entonces \( h = 1 \) y la ecuación empieza como \( f(x) = a\log_b(x - 1) + k \).

Busca dos puntos donde la gráfica cruce líneas de cuadrícula de forma exacta; estos son mucho más útiles que estimar coordenadas decimales. Un punto especialmente valioso es aquel donde el argumento del logaritmo vale 1, porque ahí la función cruza el eje horizontal en \( k \) (si \( k = 0 \), ese es justamente el intercepto en \( x \)).

Con dos puntos conocidos puedes construir un pequeño sistema de ecuaciones y despejar los parámetros que aún faltan.

Una vez que tienes una ecuación del tipo \( \log_b(x - h) = y \) para un punto conocido, conviene reescribirla en forma exponencial para despejar \( b \) con facilidad. Si necesitas recordar cómo se hace ese cambio, revisa la lección sobre convertir de logaritmo a forma exponencial: la igualdad \( \log_b(x-h) = y \) equivale a \( b^y = x - h \), y de ahí despejas \( b \) directamente.

Supón que una gráfica muestra una asíntota vertical en \( x = 1 \), pasa por el punto \( (2, 0) \) y también por el punto \( (5, 2) \).

Como la asíntota está en \( x = 1 \), sabemos que \( h = 1 \), así que la ecuación tiene la forma \( f(x) = \log_b(x - 1) \) (tomamos \( a = 1 \) y \( k = 0 \) porque el punto \( (2,0) \) ya confirma que no hay desplazamiento vertical, pues \( \log_b(2-1) = \log_b(1) = 0 \) para cualquier base).

Ahora usamos el segundo punto, \( (5, 2) \): \( \log_b(5 - 1) = 2 \), es decir \( \log_b(4) = 2 \). Escribiendo esto en forma exponencial, \( b^2 = 4 \), de donde \( b = 2 \).

La función es entonces \( f(x) = \log_2(x - 1) \). Puedes comprobarla sustituyendo ambos puntos originales.

Un error frecuente es confundir el desplazamiento horizontal \( h \) con el vertical \( k \), sobre todo cuando la curva está rotada visualmente por el efecto de la base. Otro error es olvidar el signo de \( a \): si la gráfica desciende en lugar de subir conforme \( x \) crece, \( a \) es negativo, y eso cambia por completo los cálculos posteriores.

Si al final obtienes una ecuación y quieres practicar el proceso inverso, es decir, usar la ecuación para resolver valores de \( x \), puedes reforzarlo con la lección de resolver ecuaciones logarítmicas.

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