Factorizar la diferencia de cuadrados

La diferencia de cuadrados es un binomio con la forma \( a^2 - b^2 \), es decir, un termino al cuadrado restado de otro termino al cuadrado. Este patron aparece con mucha frecuencia dentro de la factorizacion de polinomios y tiene una formula fija que permite factorizarlo de inmediato, sin necesidad de probar combinaciones como en otros trinomios.

Antes de aplicar este metodo conviene tener claro como se extraen los factores comunes de un polinomio, ya que siempre es el primer paso al factorizar cualquier expresion, incluida una diferencia de cuadrados. Puedes repasarlo en factores comunes de polinomios si necesitas reforzarlo primero. (nota interna)

La formula que permite factorizar cualquier diferencia de cuadrados es siempre la misma:

\( a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) \)

Aqui \( a \) y \( b \) representan las raices cuadradas de cada termino del binomio original. El resultado son dos factores conjugados: uno con signo mas y otro con signo menos entre \( a \) y \( b \).

Antes de factorizar, verifica que el binomio cumpla estas tres condiciones:

• Tiene exactamente dos terminos.
• Entre ambos terminos hay un signo de resta.
• Cada termino es un cuadrado perfecto, es decir, tiene raiz cuadrada exacta.

Si el binomio tiene un signo de suma en lugar de resta, se trata de una suma de cuadrados, que en general no se puede factorizar dentro de los numeros reales usando este metodo.

1. Revisa si hay un factor comun en ambos terminos y extraelo primero.
2. Calcula la raiz cuadrada de cada termino para identificar \( a \) y \( b \).
3. Escribe el resultado como \( (a+b)(a-b) \).
4. Comprueba multiplicando los dos factores para confirmar que regresas al binomio original.

Factoriza \( x^2 - 9 \).

El termino \( x^2 \) tiene raiz cuadrada \( x \), y el termino \( 9 \) tiene raiz cuadrada \( 3 \). Como hay una resta entre dos cuadrados perfectos, aplicamos la formula:

\( x^2 - 9 = (x+3)(x-3) \)

Los ceros de este binomio ocurren cuando cada factor vale cero, es decir en \( x = -3 \) y \( x = 3 \). Esto se puede observar tambien en la grafica de \( y = x^2 - 9 \), donde la parabola cruza el eje horizontal justo en esos dos valores.

El mismo patron funciona cuando los terminos son fracciones, siempre que cada una tenga raiz cuadrada exacta. Por ejemplo, para factorizar \( \dfrac{x^2}{4} - \dfrac{1}{9} \), identificamos que la raiz de \( \dfrac{x^2}{4} \) es \( \dfrac{x}{2} \) y la raiz de \( \dfrac{1}{9} \) es \( \dfrac{1}{3} \). Aplicando la formula obtenemos:

\( \dfrac{x^2}{4} - \dfrac{1}{9} = \left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{3}\right) \)

Algunas expresiones esconden una diferencia de cuadrados detras de un factor comun mas grande. Por ejemplo, en \( 2x^2 - 18 \), primero se extrae el 2: \( 2(x^2-9) \), y luego se factoriza el binomio interior como \( 2(x+3)(x-3) \). Cuando el polinomio tiene mas de dos terminos o requiere reorganizar antes de ver el patron, tambien puede ser util el metodo de factorizacion por agrupacion.

• Confundir la diferencia de cuadrados con la suma de cuadrados, que no sigue este mismo patron de factorizacion.
• Olvidar extraer un factor comun antes de aplicar la formula.
• Escribir mal el signo en uno de los dos factores conjugados.

Si el binomio no cumple las condiciones de una diferencia de cuadrados, es probable que se trate de otro tipo de expresion, como los trinomios que se estudian en factorizacion de polinomios con forma x al cuadrado mas bx mas c.

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