Evaluar Logaritmos Usando las Propiedades de los Logaritmos

Evaluar un logaritmo consiste en encontrar su valor numérico exacto. Muchas veces la expresión no se puede resolver directamente porque involucra productos, cocientes o potencias dentro del logaritmo. Para eso existen las propiedades de los logaritmos: un conjunto de reglas que permiten reescribir una expresión complicada como una combinación de logaritmos más simples, o al revés, condensar varios logaritmos en uno solo. Antes de continuar, es útil repasar ¿Qué es un logaritmo? para recordar que \( \log_b x = y \) significa exactamente lo mismo que \( b^y = x \).

Estas son las reglas que se usan una y otra vez para evaluar logaritmos sin calculadora:

• Regla del producto: \( \log_b(mn) = \log_b m + \log_b n \)
• Regla del cociente: \( \log_b\left(\dfrac{m}{n}\right) = \log_b m - \log_b n \)
• Regla de la potencia: \( \log_b(m^n) = n\log_b m \)
• Cambio de base: \( \log_b m = \dfrac{\log_a m}{\log_a b} \)
• Identidades básicas: \( \log_b b = 1 \) y \( \log_b 1 = 0 \)

La regla del cociente merece atención especial porque suele confundirse con la resta de fracciones dentro del logaritmo. Si quieres profundizar en ella con más ejemplos, revisa la lección sobre el logaritmo de un cociente.

La estrategia general tiene tres pasos: primero, identificar qué propiedad se aplica a cada parte de la expresión; segundo, reescribir el logaritmo usando esa propiedad; y tercero, evaluar los logaritmos resultantes usando valores conocidos, como \( \log_2 8 = 3 \) porque \( 2^3 = 8 \).

Ejemplo 1: usando la regla del cociente

Evalúa \( \log_2 32 - \log_2 4 \).

Como es una resta de dos logaritmos con la misma base, se aplica la regla del cociente en sentido inverso:

\( \log_2 32 - \log_2 4 = \log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 8 = 3 \)

Ejemplo 2: usando la regla de la potencia

Evalúa \( \log_3(9^2) \).

Aplicando la regla de la potencia, el exponente baja como coeficiente:

\( \log_3(9^2) = 2\log_3 9 = 2(2) = 4 \)

ya que \( \log_3 9 = 2 \) porque \( 3^2 = 9 \).

Ejemplo 3: combinando dos propiedades

Evalúa \( \log_5 125 + \log_5 25 - \log_5 5 \).

Primero se combinan todos los términos con las reglas del producto y del cociente:

\( \log_5 125 + \log_5 25 - \log_5 5 = \log_5\left(\dfrac{125 \times 25}{5}\right) = \log_5 625 \)

Como \( 5^4 = 625 \), el resultado final es \( \log_5 625 = 4 \).

El siguiente gráfico muestra \( y = \log_2 x \). Observa cómo cada vez que \( x \) se duplica, el valor de \( y \) aumenta solo en 1 unidad, exactamente lo que predice la regla del producto.

Un error frecuente es pensar que \( \log_b(m+n) \) es igual a \( \log_b m + \log_b n \); esto no es correcto, ya que la regla del producto solo funciona con multiplicación dentro del logaritmo, no con suma. Otro error común es olvidar que todas las bases deben coincidir antes de combinar los logaritmos. Si te encuentras con una ecuación en lugar de una simple evaluación, conviene revisar Resolviendo ecuaciones logarítmicas, y si necesitas practicar evaluaciones sin apoyarte en estas reglas, la lección de Evaluando logaritmos sin calculadora complementa muy bien esta.

Related lessons

• Es Algebra Help