Aplicaciones de la Factorización de Polinomios

Muchos problemas de la vida cotidiana, como calcular el área de un jardín, encontrar la edad de una persona o determinar dos números que cumplen ciertas condiciones, se pueden traducir en una ecuación cuadrática de la forma \( x^2 + bx + c = 0 \). Una vez que el problema está escrito como esta ecuación, se puede resolver factorizando el trinomio, es decir, escribiéndolo como el producto de dos binomios de la forma \( (x + p)(x + q) \), donde \( p \) y \( q \) son dos números que multiplicados dan \( c \) y sumados dan \( b \).

Si necesitas repasar el procedimiento básico para factorizar este tipo de trinomios antes de aplicarlo a problemas, revisa la lección de factorización de polinomios de la forma x al cuadrado más bx más c.

La mayoría de los problemas de aplicación siguen el mismo procedimiento general:

1. Lee el problema con cuidado e identifica qué cantidad representa la variable \( x \).
2. Escribe una expresión algebraica para cada cantidad descrita (largo, ancho, número consecutivo, etc.).
3. Plantea una ecuación igualando la expresión a la condición dada (un área, un producto, una suma).
4. Antes de factorizar el trinomio, verifica si hay un factor común entre todos los términos que se pueda sacar primero.
5. Factoriza el trinomio \( x^2 + bx + c \) como \( (x + p)(x + q) \) e iguala cada factor a cero.
6. Resuelve cada ecuación lineal y descarta las soluciones que no tengan sentido en el contexto del problema, como valores negativos para una longitud.

El producto de dos números enteros positivos consecutivos es 132. Encuentra ambos números.

Si el primer número es \( x \), el siguiente número consecutivo es \( x + 1 \). El producto de ambos es 132, así que la ecuación es:

\( x(x + 1) = 132 \)

Al expandir y reorganizar se obtiene el trinomio igualado a cero:

\( x^2 + x - 132 = 0 \)

Se buscan dos números que multiplicados den \( -132 \) y sumados den \( 1 \): esos números son \( 12 \) y \( -11 \). Entonces:

\( (x + 12)(x - 11) = 0 \)

Las soluciones posibles son \( x = -12 \) y \( x = 11 \). Como el problema pide números enteros positivos, se descarta \( x = -12 \) y se conserva \( x = 11 \). Los dos números consecutivos son 11 y 12.

El área de un jardín rectangular es de 60 metros cuadrados. El largo del jardín es 4 metros mayor que el ancho. Encuentra las dimensiones del jardín.

Si el ancho es \( x \), el largo es \( x + 4 \), y el área se calcula multiplicando ambas dimensiones:

\( x(x + 4) = 60 \)

\( x^2 + 4x - 60 = 0 \)

Se buscan dos números que multiplicados den \( -60 \) y sumados den \( 4 \): esos números son \( 10 \) y \( -6 \). Entonces:

\( (x + 10)(x - 6) = 0 \)

Las soluciones son \( x = -10 \) y \( x = 6 \). La gráfica siguiente muestra la expresión \( x^2 + 4x - 60 \) y marca ambos valores, donde la curva cruza el eje horizontal.

Como \( x \) representa un ancho, no puede ser negativo, así que se descarta \( x = -10 \) y se conserva \( x = 6 \). Entonces el ancho mide 6 metros y el largo mide \( 6 + 4 = 10 \) metros. Se puede comprobar que \( 6 \times 10 = 60 \), lo cual coincide con el área dada.

Un error frecuente es olvidar descartar la solución negativa cuando la variable representa una longitud, una edad o una cantidad de objetos, ya que estas cantidades no pueden ser negativas. Otro error común es plantear mal la ecuación al confundir el orden de las cantidades descritas en el problema, por lo que conviene releer el enunciado después de escribir la ecuación. También es útil practicar primero con problemas donde ya se conoce un coeficiente, como los que trabajan la constante c desconocida en trinomios de la forma x al cuadrado más bx más c, antes de enfrentar problemas de aplicación completos.

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