Sumar y Restar Radicales

Sumar y restar expresiones radicales se parece mucho a sumar y restar terminos semejantes en algebra. La diferencia es que, en lugar de variables como \(x\) o \(y\), lo que debe coincidir es el radical completo: el indice de la raiz y la cantidad que esta dentro del signo radical (el radicando). Solo cuando dos radicales son exactamente iguales se pueden combinar sus coeficientes en un solo termino.

Antes de intentar combinar radicales conviene repasar como se forma una raiz, por ejemplo en el tema de 0,02 al cuadrado, donde se explica la relacion entre elevar al cuadrado y extraer una raiz cuadrada.

Dos radicales son semejantes cuando tienen el mismo indice y el mismo radicando. Por ejemplo, \(3\sqrt{2}\) y \(5\sqrt{2}\) son semejantes porque ambos son raices cuadradas de 2. En cambio, \(3\sqrt{2}\) y \(3\sqrt{3}\) no son semejantes porque los radicandos son distintos, y \(3\sqrt{2}\) tampoco es semejante a \(3\sqrt[3]{2}\) porque el indice de la raiz es diferente.

Cuando los radicales son semejantes, se suman o restan igual que terminos algebraicos semejantes: se combinan los coeficientes y el radical se conserva sin cambios.

La regla general se puede escribir asi:

\( a\sqrt[n]{x} \pm b\sqrt[n]{x} = (a \pm b)\sqrt[n]{x} \)

Es decir, se suman o restan los numeros que estan afuera del radical, y el radical \(\sqrt[n]{x}\) se copia tal cual en la respuesta.

Ejemplo 1: radicales ya semejantes

Simplifica \(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}\).

Como ambos terminos tienen el mismo indice (2) y el mismo radicando (2), son radicales semejantes. Se suman los coeficientes:

\( 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = (3+5)\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \)

Ejemplo 2: una resta con tres terminos

Simplifica \(7\sqrt{5} - 2\sqrt{5} + \sqrt{5}\).

Todos los terminos son radicales semejantes (raiz cuadrada de 5), asi que se combinan los coeficientes \(7\), \(-2\) y \(1\):

\( 7\sqrt{5} - 2\sqrt{5} + \sqrt{5} = (7 - 2 + 1)\sqrt{5} = 6\sqrt{5} \)

Muchas veces dos radicales parecen distintos, pero en realidad son semejantes una vez que se simplifican. Por eso el primer paso siempre debe ser convertir cada radical a su forma mas simple, tal como se explica en Convirtiendo expresiones radicales a expresiones radicales mixtas.

Por ejemplo, \(\sqrt{12}\) y \(\sqrt{27}\) no se ven iguales, pero al descomponer el radicando en un factor cuadrado perfecto:

\( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} \)

\( \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3} \)

Ahora ambos son radicales semejantes con radicando 3, y se pueden sumar:

\( \sqrt{12} + \sqrt{27} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \)

Un error frecuente es sumar los radicandos en lugar de los coeficientes, escribiendo algo como \(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{4}\), lo cual es incorrecto. El radicando nunca se modifica al sumar radicales semejantes; solo los coeficientes cambian.

Otro error comun es intentar combinar radicales que no son semejantes, por ejemplo \(2\sqrt{3} + 4\sqrt{5}\). Como los radicandos son diferentes y no se pueden simplificar para igualarse, esta expresion ya esta en su forma mas simple y no se puede reducir a un solo termino; queda como \(2\sqrt{3} + 4\sqrt{5}\).

Tambien conviene tener cuidado con el indice del radical: \(\sqrt{5}\) (raiz cuadrada) y \(\sqrt[3]{5}\) (raiz cubica) nunca son semejantes aunque tengan el mismo radicando. Si necesitas repasar como funcionan las raices con distinto indice, revisa Multiplicando y dividiendo expresiones radicales, donde tambien se trabaja con indices diferentes.

Ejemplo 3: expresion mixta

Simplifica \(2\sqrt{8} + \sqrt{18} - \sqrt{2}\).

Primero se simplifica cada radical:

\( \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \), asi que \(2\sqrt{8} = 2(2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}\)

\( \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)

Ahora todos los terminos son radicales semejantes con radicando 2:

\( 4\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - \sqrt{2} = (4 + 3 - 1)\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \)

Para sumar o restar expresiones radicales: primero simplifica cada radical a su forma mas simple, luego identifica cuales son radicales semejantes (mismo indice y mismo radicando), y finalmente suma o resta unicamente los coeficientes dejando el radical sin cambios. Este mismo criterio de identificar terminos semejantes se usara mas adelante al trabajar con exponentes racionales o al convertir entre radicales, como en Exponentes racionales.

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