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Regla del Cociente de Logaritmos

Explicación de la regla del cociente de logaritmos: log base b de M dividido entre N es igual a log base b de M menos log base b de N. Incluye la demostración a partir de las leyes de los exponentes, condiciones de validez y ejemplos numéricos y con variables resueltos paso a paso.

Introduction

La regla del cociente de logaritmos permite transformar el logaritmo de una división en una resta de logaritmos. Esta propiedad es una de las reglas básicas que se usan para simplificar expresiones logarítmicas y para resolver ecuaciones que contienen logaritmos. Si todavía no tienes claro qué representa un logaritmo, puedes repasarlo antes en ¿Qué es un logaritmo?

Enunciado de la regla del cociente

Para cualquier base \( b \) positiva y distinta de 1, y para valores positivos \( M \) y \( N \), se cumple que:

\( \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N \)

En palabras, el logaritmo de un cociente es igual a la resta del logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. Las condiciones \( M > 0 \), \( N > 0 \), \( b > 0 \) y \( b \ne 1 \) son necesarias porque el logaritmo no está definido para números negativos ni para cero.

De dónde viene esta regla

La regla del cociente se deduce de la ley de los exponentes que dice que al dividir dos potencias con la misma base se restan los exponentes: \( \dfrac{b^x}{b^y} = b^{x-y} \).

Sean \( x = \log_b M \) y \( y = \log_b N \). Por la definición de logaritmo, eso significa que \( b^x = M \) y \( b^y = N \). Entonces:

\( \dfrac{M}{N} = \dfrac{b^x}{b^y} = b^{x-y} \)

Si aplicamos logaritmo base \( b \) a ambos lados y usamos la definición de logaritmo otra vez, obtenemos \( \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = x - y \), es decir, \( \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N \). Si quieres repasar cómo pasar entre la forma logarítmica y la forma exponencial, revisa Convirtiendo de logaritmo a forma exponencial.

Ejemplo 1: cociente con números

Calcula \( \log_2\left(\dfrac{8}{2}\right) \) usando la regla del cociente.

\( \log_2\left(\dfrac{8}{2}\right) = \log_2 8 - \log_2 2 \)

Como \( \log_2 8 = 3 \) y \( \log_2 2 = 1 \), entonces \( \log_2\left(\dfrac{8}{2}\right) = 3 - 1 = 2 \). Puedes comprobarlo directamente: \( \dfrac{8}{2} = 4 \) y \( \log_2 4 = 2 \), así que el resultado coincide.

Ejemplo 2: expandir un logaritmo con variables

Expande \( \log_5\left(\dfrac{x}{y}\right) \) usando la regla del cociente.

\( \log_5\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_5 x - \log_5 y \)

Esta expresión ya está separada en dos logaritmos individuales, lo cual es útil cuando se necesita trabajar cada parte por separado, por ejemplo dentro de una ecuación logarítmica.

Ejemplo 3: usar la regla en sentido inverso

La regla del cociente también funciona al revés: dos logaritmos restados con la misma base se pueden combinar en uno solo. Simplifica \( \log_3 20 - \log_3 4 \).

\( \log_3 20 - \log_3 4 = \log_3\left(\dfrac{20}{4}\right) = \log_3 5 \)

Este uso inverso es muy común al resolver ecuaciones, porque permite reducir varios logaritmos a uno solo antes de eliminarlos. Puedes ver este proceso completo en Resolviendo ecuaciones logarítmicas.

Errores comunes

Un error frecuente es pensar que \( \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) \) es igual a \( \dfrac{\log_b M}{\log_b N} \). Esto es incorrecto: la regla del cociente da una resta de logaritmos, no una división de logaritmos. Otro error es aplicar la regla cuando \( M \) o \( N \) no son positivos, situación en la que el logaritmo simplemente no existe.

Relación con otras reglas de logaritmos

La regla del cociente es la contraparte de la regla del producto, que establece que \( \log_b(MN) = \log_b M + \log_b N \). Junto con la regla de la potencia y la fórmula del cambio de base, estas propiedades forman el conjunto de herramientas básicas para simplificar y evaluar logaritmos, incluyendo el logaritmo natural. Si necesitas convertir entre bases distintas, revisa Evaluando logaritmos utilizando la fórmula del cambio de base.

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