Intersección y Unión de Dos Conjuntos

Cuando trabajamos con dos conjuntos, hay dos operaciones básicas que nos permiten combinarlos o compararlos: la intersección y la unión. La intersección de dos conjuntos \( A \) y \( B \), escrita \( A \cap B \), es el conjunto formado únicamente por los elementos que están en \( A \) y también en \( B \) al mismo tiempo. La unión, escrita \( A \cup B \), es el conjunto formado por todos los elementos que están en \( A \), en \( B \), o en ambos.

Antes de continuar, conviene recordar cómo se describen los conjuntos. Puedes escribirlos listando sus elementos, lo que se conoce como conjuntos por extensión, o describiendo una regla que cumplen sus elementos con la notación de conjuntos por comprensión.

Para dos conjuntos \( A \) y \( B \):

\( A \cap B = \{x : x \in A \land x \in B\} \) no es la forma que usaremos aquí porque mezcla palabras dentro del símbolo, así que en la práctica basta recordar la idea en palabras: \( A \cap B \) contiene solo lo que se repite en ambos conjuntos, mientras que \( A \cup B \) reúne absolutamente todo, sin repetir ningún elemento dos veces.

Por ejemplo, si \( A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \) y \( B = \{3, 4, 5, 6, 7\} \), entonces:

\( A \cap B = \{3, 4, 5\} \), porque 3, 4 y 5 aparecen en los dos conjuntos.

\( A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \), porque reunimos todos los elementos de ambos conjuntos sin repetirlos.

Un diagrama de Venn es la forma más visual de entender estas operaciones: cada conjunto se dibuja como un círculo, y la zona donde los círculos se superponen representa la intersección.

Cuando dos conjuntos comparten elementos, no podemos simplemente sumar cuántos elementos tiene cada uno para saber cuántos hay en la unión, porque los elementos comunes se contarían dos veces. Por eso existe una fórmula para el número de elementos, llamado cardinal, de la unión:

\( |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \)

Con el ejemplo anterior: \( |A| = 5 \), \( |B| = 5 \) y \( |A \cap B| = 3 \), así que \( |A \cup B| = 5 + 5 - 3 = 7 \), que coincide con los siete elementos que listamos arriba.

Sea \( C \) el conjunto de los números pares entre 1 y 12, es decir, \( C = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\} \), y sea \( D = \{2, 3, 5, 8, 12\} \).

Para la intersección, buscamos los elementos que aparecen en ambos: \( C \cap D = \{2, 8, 12\} \).

Para la unión, reunimos todos los elementos sin repetir: \( C \cup D = \{2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12\} \).

Si los dos conjuntos no comparten ningún elemento, se dice que son disjuntos, y en ese caso \( A \cap B \) es el conjunto vacío, mientras que \( |A \cup B| \) es simplemente \( |A| + |B| \).

Las mismas ideas de intersección y unión se pueden extender a tres o más conjuntos a la vez, aunque el diagrama y la fórmula del cardinal se complican un poco. Si quieres ver cómo se manejan tres conjuntos al mismo tiempo, revisa la lección sobre intersección y unión de 3 conjuntos.

Related lessons

• Es Algebra Help