Combina la Regla del Producto y del Cociente en Logaritmos

Muchas expresiones logaritmicas no contienen solo una multiplicacion o solo una division, sino ambas al mismo tiempo. Por ejemplo, un logaritmo como \( \log_b\left(\dfrac{xy}{z}\right) \) tiene un producto en el numerador y una division con respecto a \(z\). Para simplificar este tipo de expresiones necesitamos aplicar la regla del producto y la regla del cociente en el mismo paso, en lugar de usarlas por separado.

Antes de combinarlas, conviene tener claro que es un logaritmo y como se relaciona con la forma exponencial; si necesitas repasarlo, puedes revisar la leccion Que es un logaritmo.

La regla del producto indica que el logaritmo de una multiplicacion es igual a la suma de los logaritmos de cada factor:

\( \log_b(xy) = \log_b x + \log_b y \)

La regla del cociente indica que el logaritmo de una division es igual a la resta de los logaritmos del numerador y el denominador. Puedes ver esta regla en detalle en la leccion logaritmo de un cociente:

\( \log_b\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y \)

Ambas reglas funcionan igual sin importar la base \(b\), siempre que \(b\) sea positiva y distinta de 1, y que los argumentos de los logaritmos sean positivos.

Cuando una expresion tiene multiplicacion y division a la vez, cada factor que este multiplicando en el numerador se convierte en un termino que se suma, y cada factor que este dividiendo se convierte en un termino que se resta. Para una expresion con dos factores en el numerador y uno en el denominador:

\( \log_b\left(\dfrac{xy}{z}\right) = \log_b x + \log_b y - \log_b z \)

Expande \( \log_2\left(\dfrac{5x}{y}\right) \).

Primero se aplica la regla del cociente para separar el numerador del denominador:

\( \log_2\left(\dfrac{5x}{y}\right) = \log_2(5x) - \log_2 y \)

Despues se aplica la regla del producto sobre el termino \( \log_2(5x) \):

\( \log_2(5x) = \log_2 5 + \log_2 x \)

Al juntar ambos pasos, la expresion queda totalmente expandida:

\( \log_2\left(\dfrac{5x}{y}\right) = \log_2 5 + \log_2 x - \log_2 y \)

Condensa \( \log_3 7 + \log_3 x - \log_3 y \) en un solo logaritmo.

Se agrupan primero los terminos que se suman usando la regla del producto en sentido inverso:

\( \log_3 7 + \log_3 x = \log_3(7x) \)

Luego se aplica la regla del cociente en sentido inverso para el termino que se resta:

\( \log_3(7x) - \log_3 y = \log_3\left(\dfrac{7x}{y}\right) \)

Por lo tanto, la expresion condensada es \( \log_3\left(\dfrac{7x}{y}\right) \). Este proceso inverso es muy util cuando necesitas dejar una sola expresion logaritmica antes de resolver una ecuacion, como en la leccion Resolviendo ecuaciones logaritmicas.

Un error frecuente es olvidar el signo de resta cuando hay mas de un factor en el denominador; recuerda que solo el numerador se convierte en sumas, mientras que el denominador siempre se convierte en restas. Otro error comun es aplicar las reglas cuando alguno de los argumentos podria ser negativo o cero, lo cual no esta permitido porque el logaritmo no esta definido en esos casos. Por eso, despues de expandir o condensar, conviene revisar que cada argumento original y cada factor por separado sean positivos.

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