Leyes de los Límites

Las leyes de los límites (también llamadas propiedades de los límites) son un conjunto de reglas que permiten calcular el límite de una función algebraica sin recurrir siempre a tablas de valores o gráficas. En lugar de evaluar el comportamiento de una función cerca de un punto de forma numérica, estas leyes descomponen una expresión complicada en partes más simples cuyos límites ya conocemos.

Supongamos que \( \lim_{x\to a} f(x) = L \) y \( \lim_{x\to a} g(x) = M \), donde \( a \), \( L \) y \( M \) son números reales. A partir de estos dos límites conocidos, las leyes de los límites nos dicen exactamente qué ocurre cuando sumamos, restamos, multiplicamos, dividimos o elevamos a una potencia las funciones \( f(x) \) y \( g(x) \).

Estas son las propiedades que más se utilizan al trabajar con límites de funciones algebraicas:

• Ley de la suma: \( \lim_{x\to a} [f(x) + g(x)] = L + M \)
• Ley de la resta: \( \lim_{x\to a} [f(x) - g(x)] = L - M \)
• Ley del múltiplo constante: \( \lim_{x\to a} [c \cdot f(x)] = c \cdot L \), para cualquier constante \( c \)
• Ley del producto: \( \lim_{x\to a} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M \)
• Ley del cociente: \( \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M} \), siempre que \( M \ne 0 \)
• Ley de la potencia: \( \lim_{x\to a} [f(x)]^n = L^n \), para todo entero positivo \( n \)
• Ley de la constante: \( \lim_{x\to a} c = c \)
• Ley de la identidad: \( \lim_{x\to a} x = a \)

El siguiente esquema resume cómo la ley de la suma combina dos límites conocidos en uno solo:

Cuando una función es un polinomio o una función racional cuyo denominador no se anula en \( a \), las leyes de los límites justifican por qué basta con sustituir \( x = a \) directamente en la expresión. Cada término de un polinomio se puede tratar por separado gracias a la ley de la suma y la ley de la potencia, y al final simplemente se evalúa la constante y la variable en \( a \). Este procedimiento se explica con más detalle en la lección de sustitución directa.

Sin embargo, no todas las expresiones permiten aplicar las leyes de esta forma tan directa. Cuando la sustitución produce una forma indeterminada como \( \frac{0}{0} \), es necesario simplificar la expresión antes de aplicar las leyes de los límites; ese proceso se desarrolla en la lección sobre límites cuando la sustitución directa no es posible.

Calculemos \( \lim_{x\to 2} (3x^2 - 5x + 4) \) usando las leyes de los límites.

Aplicamos la ley de la resta y la ley de la suma para separar los tres términos:

\( \lim_{x\to 2} (3x^2 - 5x + 4) = \lim_{x\to 2} 3x^2 - \lim_{x\to 2} 5x + \lim_{x\to 2} 4 \)

Con la ley del múltiplo constante y la ley de la potencia, el primer término se convierte en \( 3 \cdot \lim_{x\to 2} x^2 = 3 \cdot 2^2 = 12 \). Con la ley del múltiplo constante y la ley de la identidad, el segundo término es \( 5 \cdot \lim_{x\to 2} x = 5 \cdot 2 = 10 \). Por la ley de la constante, el tercer término es simplemente \( 4 \).

Sumando los resultados: \( 12 - 10 + 4 = 6 \). Por lo tanto, \( \lim_{x\to 2} (3x^2 - 5x + 4) = 6 \).

Observa en la siguiente gráfica cómo el valor de la función se acerca a \( 6 \) cuando \( x \) se aproxima a \( 2 \) desde ambos lados:

Un error frecuente es aplicar la ley del cociente sin verificar que el límite del denominador sea distinto de cero. Si \( M = 0 \), la ley del cociente no se puede usar directamente y hay que analizar el límite con otras técnicas, o incluso concluir que el límite es infinito, como se estudia en la lección sobre límites infinitos y asíntotas verticales.

Otro error es olvidar que estas leyes solo garantizan el resultado cuando los límites individuales \( L \) y \( M \) existen. Si alguno de los límites parciales no existe, no se puede concluir nada sobre el límite de la combinación usando estas propiedades.

Las leyes de los límites también son la base para entender por qué las sumas, productos y cocientes de funciones continuas siguen siendo continuas (donde estén definidas). Este vínculo se explora con mayor profundidad en la lección de continuidad de funciones.

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