Derivada de Funciones Logaritmicas

La derivada de una funcion logaritmica aparece con mucha frecuencia en calculo, tanto en su forma mas simple, el logaritmo natural, como en logaritmos escritos en otras bases. Conocer estas dos formulas, y saber combinarlas con la regla de la cadena, te permite derivar cualquier funcion que contenga un logaritmo.

La funcion logaritmica mas comun en calculo es el logaritmo natural, denotado \( \ln x \). Su derivada es una de las formulas mas usadas del curso:

\( \dfrac{d}{dx}[\ln x] = \dfrac{1}{x} \), valida para \( x > 0 \).

Esta formula se obtiene a partir de la definicion de derivada como limite, pero en la practica se usa directamente como regla de derivacion.

Cuando el logaritmo esta escrito en una base distinta de \( e \), por ejemplo \( \log_2 x \) o \( \log_{10} x \), se aplica la formula general:

\( \dfrac{d}{dx}[\log_a x] = \dfrac{1}{x \ln a} \)

Observa que si \( a = e \), entonces \( \ln a = 1 \) y la formula se reduce exactamente a \( \dfrac{1}{x} \), es decir, la derivada del logaritmo natural.

La mayoria de los ejercicios no piden derivar \( \ln x \) directamente, sino \( \ln u \), donde \( u \) es otra funcion de \( x \). En ese caso se combina la formula del logaritmo con la regla de la cadena:

\( \dfrac{d}{dx}[\ln u] = \dfrac{u'}{u} \)

De forma analoga, para un logaritmo en base \( a \) con argumento compuesto:

\( \dfrac{d}{dx}[\log_a u] = \dfrac{u'}{u \ln a} \)

Ejemplo 1. Deriva \( f(x) = \ln(3x^2 + 1) \).

Aqui \( u = 3x^2 + 1 \), por lo tanto \( u' = 6x \). Aplicando la formula \( \dfrac{u'}{u} \):

\( f'(x) = \dfrac{6x}{3x^2 + 1} \)

Ejemplo 2. Deriva \( g(x) = \log_5(2x) \).

Con \( u = 2x \), entonces \( u' = 2 \). Usando la formula general:

\( g'(x) = \dfrac{2}{2x \ln 5} = \dfrac{1}{x \ln 5} \)

Ejemplo 3. Deriva \( h(x) = x^2 \ln x \).

Esta funcion es un producto de \( x^2 \) y \( \ln x \), asi que conviene revisar la regla del producto para completarla correctamente. El resultado es:

\( h'(x) = 2x \ln x + x^2 \cdot \dfrac{1}{x} = 2x \ln x + x \)

La grafica de \( f(x) = \ln x \) crece de forma cada vez mas lenta a medida que \( x \) aumenta, lo cual concuerda con que su derivada \( \dfrac{1}{x} \) se hace mas pequena conforme \( x \) crece. En \( x = 1 \), la funcion vale cero y su pendiente es exactamente \( 1 \).

Este comportamiento es util al calcular la pendiente y la ecuacion de la linea tangente a una curva logaritmica en un punto dado, ya que la pendiente en cualquier punto es simplemente el valor de la derivada evaluada ahi.

Un error frecuente es olvidar multiplicar por \( u' \) cuando el argumento del logaritmo no es simplemente \( x \). Otro error comun es confundir la base del logaritmo con el numero de Euler, aplicando \( \dfrac{1}{x} \) cuando en realidad se necesita \( \dfrac{1}{x \ln a} \). Revisa siempre cual es el argumento interno antes de derivar, y verifica si necesitas combinarlo con otra regla, como la del producto o el cociente, cuando el logaritmo aparece multiplicado o dividido por otra funcion.

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