Resolver Desigualdades Lineales de Varios Pasos

Una desigualdad lineal de varios pasos es una desigualdad que no se puede resolver con una sola operación. A diferencia de las desigualdades lineales en un paso, aquí es necesario aplicar la propiedad distributiva, combinar términos semejantes y usar varias operaciones inversas seguidas antes de aislar por completo la variable. El objetivo final sigue siendo el mismo: encontrar todos los valores de la variable que hacen verdadera la desigualdad, expresados como \(x < a\), \(x \le a\), \(x > a\) o \(x \ge a\) (o con la variable en el otro lado).

Aunque cada problema tiene su propia combinación de operaciones, el orden general que conviene seguir es:

1. Elimina paréntesis aplicando la propiedad distributiva.
2. Combina los términos semejantes en cada lado de la desigualdad.
3. Reúne los términos con variable en un lado y los términos numéricos en el otro, sumando o restando.
4. Multiplica o divide ambos lados por el coeficiente de la variable para dejarla sola.
5. Si multiplicas o divides por un número negativo, invierte el símbolo de la desigualdad.
6. Escribe la solución y, si se pide, represéntala en una recta numérica.

La diferencia más importante entre resolver una ecuación y resolver una desigualdad aparece cuando multiplicas o divides ambos lados por un número negativo. En ese caso, el símbolo de la desigualdad cambia de dirección. Por ejemplo, si llegas a \(-3x > 9\), al dividir ambos lados por \(-3\) obtienes \(x < -3\), no \(x > -3\). Olvidar este cambio es el error más común al resolver desigualdades lineales de varios pasos.

Resuelve \(-2(x + 3) + 4 > x - 5\).

Primero distribuye el \(-2\):

\(-2x - 6 + 4 > x - 5\)

Combina los términos numéricos del lado izquierdo:

\(-2x - 2 > x - 5\)

Reúne los términos con \(x\) en el lado izquierdo y los números en el derecho:

\(-2x - x > -5 + 2\)

\(-3x > -3\)

Divide ambos lados entre \(-3\) e invierte el símbolo, porque estás dividiendo por un número negativo:

\(x < 1\)

La solución es todo valor de \(x\) menor que \(1\). Puedes verificarlo sustituyendo un valor como \(x = 0\) en la desigualdad original: \(-2(0+3)+4 = -2 > -5\), lo cual es cierto.

Resuelve \(\dfrac{2x + 1}{3} \ge 5\).

Multiplica ambos lados por \(3\) (un número positivo, así que el símbolo no cambia):

\(2x + 1 \ge 15\)

Resta \(1\) en ambos lados:

\(2x \ge 14\)

Divide entre \(2\) (positivo, el símbolo se mantiene):

\(x \ge 7\)

Aquí no fue necesario invertir el símbolo porque en ningún paso se multiplicó o dividió por un número negativo.

Cuando la desigualdad es estricta (\(<\) o \(>\)), se usa un círculo abierto en el valor límite, porque ese número no forma parte de la solución. Cuando incluye la igualdad (\(\le\) o \(\ge\)), se usa un círculo cerrado. Después se traza una flecha hacia el lado donde se ubican todos los valores que cumplen la desigualdad. Para profundizar en cómo escribir y graficar estas soluciones puedes revisar cómo se expresan las desigualdades lineales de forma gráfica y algebraica.

• Olvidar invertir el símbolo al multiplicar o dividir por un número negativo.
• Distribuir mal el signo negativo delante de un paréntesis.
• Combinar incorrectamente términos que no son semejantes.
• Confundir círculo abierto y cerrado al graficar la solución.

Una vez que domines este tipo de desigualdades de una sola variable, el siguiente paso natural es trabajar con dos condiciones a la vez en las desigualdades compuestas, donde se combinan dos desigualdades lineales usando "y" u "o".

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