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Ángulo y Valor Absoluto de un Número Complejo

En esta lección aprenderás a encontrar el valor absoluto (módulo) y el ángulo (argumento) de un número complejo representado en el plano complejo, usando el teorema de Pitágoras y razones trigonométricas, con ejemplos resueltos paso a paso.

Qué son el módulo y el ángulo de un número complejo

Un número complejo \( z = a + bi \) se puede representar como un punto o un vector en el plano complejo, donde el eje horizontal muestra la parte real \(a\) y el eje vertical muestra la parte imaginaria \(b\). Igual que un vector tiene una longitud y una dirección, un número complejo tiene un módulo (también llamado valor absoluto) y un ángulo (también llamado argumento).

El valor absoluto de un número complejo mide qué tan lejos está ese punto del origen, mientras que el ángulo indica en qué dirección se encuentra, medido desde el eje real positivo. Juntos, estos dos valores forman la representación polar del número complejo.

Fórmula del valor absoluto (módulo)

Si dibujas el segmento desde el origen hasta el punto \( (a, b) \), obtienes la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden \(a\) y \(b\). Por el teorema de Pitágoras, el módulo de \( z = a + bi \) es:

\( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)

Este valor siempre es positivo o cero, porque representa una distancia. Es el mismo concepto que se usa para calcular la distancia entre números complejos, solo que aquí uno de los puntos es el origen.

Fórmula del ángulo (argumento)

El ángulo \(\theta\) que forma el vector con el eje real positivo se obtiene con la razón tangente del triángulo rectángulo:

\( \tan(\theta) = \dfrac{b}{a} \) por lo que \( \theta = \tan^{-1}\left(\dfrac{b}{a}\right) \)

Debes tener cuidado con el cuadrante en el que se encuentra el punto, porque la calculadora solo devuelve valores entre \(-90^\circ\) y \(90^\circ\). Si \(a\) es negativo, hay que sumar o restar \(180^\circ\) al resultado para ubicar el ángulo en el cuadrante correcto.

Representación de \( z = a + bi \) en el plano complejo, con el módulo como distancia al origen y el ángulo medido desde el eje real.

Ejemplo 1: número complejo en el primer cuadrante

Encuentra el módulo y el ángulo de \( z = 3 + 4i \).

Aquí \( a = 3 \) y \( b = 4 \), ambos positivos, así que el punto está en el primer cuadrante.

\( |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)

\( \theta = \tan^{-1}\left(\dfrac{4}{3}\right) \approx 53.1^\circ \)

Como el punto está en el primer cuadrante, este ángulo ya es correcto sin ajustes.

Ejemplo 2: número complejo en el segundo cuadrante

Encuentra el módulo y el ángulo de \( z = -2 + 2i \).

Primero el módulo:

\( |z| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)

Ahora el ángulo de referencia:

\( \tan^{-1}\left(\dfrac{2}{-2}\right) = \tan^{-1}(-1) = -45^\circ \)

Como \(a\) es negativo y \(b\) es positivo, el punto está en el segundo cuadrante, así que se suma \(180^\circ\) al resultado:

\( \theta = -45^\circ + 180^\circ = 135^\circ \)

Por qué es útil conocer el módulo y el ángulo

Escribir un número complejo en su forma polar, usando el módulo y el ángulo, facilita muchas operaciones que resultan más complicadas en la forma rectangular \( a + bi \), como la multiplicación y división de números complejos. También es un paso clave cuando trabajas con conjugados de números complejos, ya que el producto de un número complejo por su conjugado siempre es igual al cuadrado de su módulo.

Puntos clave para recordar

Antes de aplicar las fórmulas, identifica correctamente la parte real \(a\) y la parte imaginaria \(b\) del número complejo. Calcula el módulo con \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \) y el ángulo con \( \theta = \tan^{-1}\left(\dfrac{b}{a}\right) \), recordando siempre verificar el cuadrante antes de dar el resultado final.

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