Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades de suma y diferencia

Las identidades de suma y diferencia permiten expresar el seno, el coseno o la tangente de la suma o la resta de dos ángulos en función de las razones trigonométricas de cada ángulo por separado. Son muy útiles cuando una ecuación trigonométrica contiene una expresión como \( \sin(x + \pi/3) \) o \( \cos(2x - x) \), porque nos dejan transformarla en una ecuación de un solo ángulo, mucho más fácil de resolver. Antes de continuar, conviene tener claro cómo se resuelven las ecuaciones trigonométricas de primer grado, ya que el último paso de este método siempre se reduce a ese tipo de ecuación.

Estas son las identidades de suma y diferencia que usarás con más frecuencia:

Fíjate en el signo del coseno: cuando la suma es \( A + B \), el término \( \sin A \sin B \) se resta; cuando es \( A - B \), se suma. Ese detalle es la fuente más común de errores al aplicar la identidad.

El procedimiento general es el siguiente:

1. Identifica si la ecuación tiene la forma de un desarrollo de suma o diferencia, o si puedes reescribirla así.
2. Aplica la identidad correspondiente para combinar los dos ángulos en una sola función trigonométrica de un único ángulo.
3. Despeja esa función trigonométrica como en una ecuación de primer grado.
4. Usa el círculo unitario o los valores conocidos de referencia para encontrar todos los ángulos que cumplen la ecuación dentro del intervalo dado.
5. Agrega el período correspondiente (\( 2\pi \) para seno y coseno, \( \pi \) para tangente) si se pide la solución general.

Resuelve \( \cos\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \) para \( x \) en el intervalo \( [0, 2\pi) \).

Aquí la expresión ya está en la forma de una diferencia o suma de ángulos, así que no hace falta desarrollarla con la identidad; el trabajo consiste en tratar \( x + \dfrac{\pi}{4} \) como un solo ángulo. Llamemos \( \theta = x + \dfrac{\pi}{4} \).

La ecuación se convierte en \( \cos \theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \). Los ángulos de referencia que cumplen esto en una vuelta completa son \( \theta = \dfrac{\pi}{4} \) y \( \theta = \dfrac{7\pi}{4} \).

Ahora regresamos a \( x \) restando \( \dfrac{\pi}{4} \) en cada caso:

\( \theta = \dfrac{\pi}{4} \) da \( x = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{4} = 0 \).

\( \theta = \dfrac{7\pi}{4} \) da \( x = \dfrac{7\pi}{4} - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{2} \).

Ambos valores están dentro de \( [0, 2\pi) \), así que las soluciones son \( x = 0 \) y \( x = \dfrac{3\pi}{2} \). La solución general, si se pidiera para todos los ángulos, sería \( x = 2k\pi \) o \( x = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi \), con \( k \) entero. La siguiente gráfica muestra \( y = \cos\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) \) y marca los dos puntos donde la curva alcanza el valor \( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \).

No toda ecuación viene ya agrupada. Por ejemplo, en \( \sin x \cos\dfrac{\pi}{3} + \cos x \sin\dfrac{\pi}{3} = 1 \) hay que reconocer primero el patrón del lado derecho de la identidad del seno. Aplicando \( \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \) en sentido inverso, la ecuación se convierte en \( \sin\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right) = 1 \), que ya es una ecuación de primer grado en un solo ángulo. Este mismo tipo de razonamiento, reconocer y reescribir antes de resolver, aparece también cuando se trabaja con identidades de ángulo doble o con las identidades pitagóricas, así que dominar este paso te servirá en varios métodos de resolución.

Confundir el signo entre \( \cos(A+B) \) y \( \cos(A-B) \) es el error más frecuente. También es común olvidar que, tras encontrar el ángulo compuesto (por ejemplo \( \theta \) en el ejemplo anterior), todavía falta despejar la variable original \( x \). Por último, recuerda siempre restringir las soluciones al intervalo que pide el problema y descartar los ángulos donde la expresión no esté definida, algo que también debes revisar al determinar los valores no permitidos de una expresión trigonométrica.

Related lessons

• Es Trigonometry Help