Read

Resolver Ecuaciones Trigonométricas con Identidades de Ángulo Doble

Esta lección explica las identidades de ángulo doble para seno, coseno y tangente, y muestra cómo aplicarlas para reescribir y resolver ecuaciones trigonométricas dentro de un intervalo dado, con ejemplos resueltos paso a paso y una gráfica que ilustra las soluciones encontradas.

Introduction

Cuando una ecuación trigonométrica contiene un ángulo del tipo \( 2\theta \) (por ejemplo \( \sin(2x) \) o \( \cos(2x) \)), no siempre se puede resolver directamente. La estrategia consiste en usar las identidades de ángulo doble para reescribir esos términos en función de \( \theta \) (o \( x \)), de modo que la ecuación se convierta en una que ya sabes resolver, muchas veces factorizando o aplicando técnicas similares a las de una ecuación de segundo grado.

Las tres identidades de ángulo doble

Existen tres funciones trigonométricas con su propia identidad de ángulo doble. Estas fórmulas se derivan de las identidades de suma de ángulos, y conviene memorizarlas porque aparecen constantemente al resolver ecuaciones:

Las tres identidades básicas de ángulo doble, usadas para reescribir ecuaciones trigonométricas.

Observa que \( \cos(2\theta) \) tiene tres formas equivalentes. Elegir la forma correcta es clave: si la ecuación original solo tiene senos, conviene usar \( 1 - 2\sin^2\theta \); si solo tiene cosenos, conviene usar \( 2\cos^2\theta - 1 \).

Estrategia general para resolver estas ecuaciones

Para resolver una ecuación que contiene un ángulo doble, sigue estos pasos:

Identifica el término con ángulo doble y sustitúyelo por la identidad correspondiente.
Simplifica hasta dejar la ecuación en función de un solo ángulo \( \theta \) (o \( x \)).
Factoriza o resuelve la ecuación resultante, tal como harías con una ecuación trigonométrica de segundo grado.
Encuentra todas las soluciones dentro del intervalo dado y verifica cada una en la ecuación original.

Si la ecuación no incluye un ángulo doble sino uno simple, revisa primero cómo resolver ecuaciones trigonométricas de primer grado, ya que ese es el paso final una vez aplicada la identidad.

Ejemplo 1: sen(2x) = sen(x)

Resuelve \( \sin(2x) = \sin(x) \) para \( 0 \le x < 2\pi \).

Sustituye la identidad de ángulo doble para el seno:

\( 2\sin x \cos x = \sin x \)

Lleva todo a un lado y factoriza (nunca dividas entre \( \sin x \), porque perderías soluciones):

\( 2\sin x \cos x - \sin x = 0 \)

\( \sin x (2\cos x - 1) = 0 \)

Esto da dos ecuaciones más simples:

\( \sin x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0, \ \pi \)

\( \cos x = \dfrac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{\pi}{3}, \ \dfrac{5\pi}{3} \)

Las cuatro soluciones en el intervalo son \( x = 0, \ \dfrac{\pi}{3}, \ \pi, \ \dfrac{5\pi}{3} \). Puedes comprobarlo observando dónde la función \( \sin(2x) - \sin(x) \) cruza el eje horizontal:

La curva \( y = \sin(2x) - \sin(x) \) cruza el eje x exactamente en las soluciones encontradas.

Ejemplo 2: cos(2x) + cos(x) = 0

Resuelve \( \cos(2x) + \cos(x) = 0 \) para \( 0 \le x < 2\pi \).

Como la ecuación solo tiene cosenos, conviene usar \( \cos(2x) = 2\cos^2x - 1 \):

\( 2\cos^2x - 1 + \cos x = 0 \)

Reordena como una ecuación cuadrática en \( \cos x \):

\( 2\cos^2x + \cos x - 1 = 0 \)

Factoriza:

\( (2\cos x - 1)(\cos x + 1) = 0 \)

Entonces \( \cos x = \dfrac{1}{2} \) o \( \cos x = -1 \), lo que da las soluciones \( x = \dfrac{\pi}{3}, \ \dfrac{5\pi}{3}, \ \pi \).

Errores comunes al usar identidades de ángulo doble

Ten cuidado con estos puntos al resolver:

No dividas ambos lados entre una función trigonométrica sin verificar que esa función pueda valer cero; hacerlo elimina soluciones válidas.
Antes de simplificar, revisa si algún término requiere valores no permitidos, especialmente cuando aparece la tangente en el denominador.
Si la ecuación combina ángulo doble con identidades de suma, resta o pitagóricas, puede ser necesario aplicar más de una identidad antes de simplificar por completo.

Related lessons

Es Trigonometry Help