Cómo Probar Afirmaciones Estadísticas

En la vida diaria escuchamos afirmaciones todo el tiempo: "el tiempo promedio de entrega es de 30 minutos", "más de la mitad de los clientes prefiere este producto" o "esta moneda es justa". Probar una afirmación en estadística no significa demostrarla con certeza absoluta, como en una demostración matemática. Significa recolectar una muestra de datos, medir qué tan compatible es esa muestra con la afirmación y decidir, con un nivel de confianza fijado de antemano, si la evidencia apoya o contradice lo que se afirma.

Esta idea es el corazón de la prueba de hipótesis, el procedimiento formal que convierte una afirmación en algo que se puede evaluar con números.

Para probar cualquier afirmación, primero se reescribe como un par de hipótesis opuestas: la hipótesis nula e hipótesis alternativa. La hipótesis nula \( H_0 \) suele representar el valor aceptado o "sin cambio" (por ejemplo, \( \mu = 30 \)), mientras que la hipótesis alternativa \( H_a \) representa la afirmación que se quiere sustentar (por ejemplo, \( \mu \ne 30 \), \( \mu < 30 \) o \( \mu > 30 \)).

La lógica es parecida a un juicio: se supone que \( H_0 \) es verdadera hasta que la evidencia de la muestra sea lo suficientemente fuerte como para rechazarla. Nunca se "prueba" que \( H_0 \) es cierta; solo se decide si hay o no evidencia suficiente para rechazarla.

1. Escribir la afirmación como \( H_0 \) y \( H_a \).
2. Elegir un nivel de significancia \( \alpha \) (comúnmente \( 0.05 \) o \( 0.01 \)) antes de ver los datos.
3. Calcular un estadístico de prueba a partir de la muestra, como \( z = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \).
4. Comparar ese estadístico contra un valor crítico, o comparar el valor p resultante contra \( \alpha \).
5. Decidir: rechazar \( H_0 \) si la evidencia es suficientemente fuerte, o no rechazar \( H_0 \) si no lo es.

Los pasos 2 y 4 dependen de conceptos que se explican con más detalle en las lecciones sobre prueba de hipótesis con valores p y sobre niveles de confianza y valores críticos; aquí nos enfocamos en cómo encajan todos los pasos para probar una afirmación de principio a fin.

Cuando el estadístico de prueba sigue (aproximadamente) una distribución normal, se puede visualizar el proceso de decisión sobre la curva normal estándar. El área bajo la curva más allá del valor crítico representa la región donde, si el estadístico de prueba cae ahí, se rechaza \( H_0 \).

Una empresa afirma que el tiempo promedio de entrega de sus paquetes es de \( \mu = 30 \) minutos. Un analista toma una muestra de \( n = 36 \) entregas y obtiene una media muestral de \( \bar{x} = 27 \) minutos, con una desviación estándar poblacional conocida de \( \sigma = 6 \) minutos. Se usa \( \alpha = 0.05 \).

Paso 1: \( H_0: \mu = 30 \), \( H_a: \mu \ne 30 \).

Paso 2: \( \alpha = 0.05 \), prueba de dos colas, valor crítico \( z = \pm 1.96 \).

Paso 3: El estadístico de prueba es \( z = \dfrac{27 - 30}{6/\sqrt{36}} = \dfrac{-3}{1} = -3 \).

Paso 4 y 5: Como \( |-3| = 3 > 1.96 \), el estadístico cae en la región de rechazo, así que se rechaza \( H_0 \). La evidencia muestral no apoya la afirmación de que el tiempo promedio de entrega es de 30 minutos; los datos sugieren que en realidad es menor.

Un error frecuente es fijar \( \alpha \) después de ver los resultados, lo cual invalida la decisión. Otro es confundir "no rechazar \( H_0 \)" con "demostrar que \( H_0 \) es verdadera": la falta de evidencia en contra no es evidencia a favor. También es importante elegir la técnica correcta según el tipo de datos; para afirmaciones sobre proporciones o frecuencias entre categorías, conviene usar la prueba de hipótesis con Ji cuadrado de Pearson en lugar del enfoque basado en la media que se mostró aquí.

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