Read

Estadístico de Prueba

Explicación clara de qué es el estadístico de prueba, cómo se calcula con las fórmulas Z, T y Ji cuadrado, y cómo se compara con un valor crítico para tomar decisiones en una prueba de hipótesis estadística, con ejemplos resueltos paso a paso.

Introduction

El estadístico de prueba es el número que resume toda la evidencia de una muestra en una sola cifra dentro de una prueba de hipótesis estadística. Este valor se compara contra un valor crítico o se usa para calcular un valor \(p\), y esa comparación es lo que finalmente permite decidir si se rechaza o no la hipótesis nula. Sin el estadístico de prueba no habría forma objetiva de convertir los datos de una muestra en una decisión estadística.

¿Qué es el estadístico de prueba?

Formalmente, el estadístico de prueba mide qué tan lejos está el resultado observado en la muestra del valor que propone la hipótesis nula, expresado en unidades de error estándar. Si esa distancia es muy grande, es poco probable que se deba solo al azar y se tiene evidencia en contra de la hipótesis nula. Si es pequeña, el resultado es compatible con lo que la hipótesis nula predice.

El tipo de estadístico que se calcula depende de lo que se conoce sobre la población y del tipo de dato que se está analizando: para medias con desviación poblacional conocida se usa el estadístico \(z\), para medias con desviación desconocida se usa el estadístico \(t\), y para variables categóricas se usa el estadístico Ji cuadrado.

Fórmula del estadístico \(z\)

Cuando se conoce la desviación estándar de la población \(\sigma\), el estadístico de prueba para una media se calcula como:

\( z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \)

Aquí \(\bar{x}\) es la media de la muestra, \(\mu\) es la media propuesta por la hipótesis nula, \(\sigma\) es la desviación poblacional y \(n\) es el tamaño de la muestra. El resultado indica a cuántas desviaciones estándar del valor supuesto se encuentra la media observada.

Fórmula del estadístico \(t\)

En la práctica casi nunca se conoce \(\sigma\), así que se reemplaza por la desviación estándar de la muestra \(s\), y el estadístico se convierte en:

\( t = \dfrac{\bar{x} - \mu}{s / \sqrt{n}} \)

Este estadístico sigue una distribución \(t\) con \(n - 1\) grados de libertad en lugar de una distribución normal estándar, porque estimar \(s\) a partir de la muestra introduce una fuente extra de variabilidad.

El estadístico de prueba dentro de la prueba de hipótesis completa

Calcular el estadístico de prueba es solo un paso dentro del proceso completo de una prueba de hipótesis: primero se plantean la hipótesis nula e hipótesis alternativa, luego se calcula el estadístico con la fórmula adecuada y, finalmente, se compara ese valor contra un valor crítico definido según el nivel de significancia elegido. Si el estadístico de prueba cae dentro de la región de rechazo, se rechaza la hipótesis nula.

Distribución normal estándar con los valores críticos en \(z = -1.96\) y \(z = 1.96\) para una prueba de dos colas con nivel de significancia de 0.05.

Ejemplo resuelto

Una fábrica afirma que sus bombillas duran en promedio \(\mu = 1000\) horas, con una desviación poblacional conocida de \(\sigma = 50\) horas. Una muestra de \(n = 36\) bombillas arroja una media de \(\bar{x} = 980\) horas. El estadístico de prueba es:

\( z = \dfrac{980 - 1000}{50 / \sqrt{36}} = \dfrac{-20}{8.33} \approx -2.4 \)

Como este valor cae más allá del valor crítico de \(-1.96\) para un nivel de significancia de 0.05, hay evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula: la duración real parece ser menor a 1000 horas.

Estadístico Ji cuadrado

Cuando los datos son categóricos, como frecuencias observadas frente a frecuencias esperadas, el estadístico de prueba adecuado es el Ji cuadrado, que compara ambos conjuntos de frecuencias. Este caso se trabaja con detalle en la lección sobre prueba de hipótesis con Ji cuadrado de Pearson.

Related lessons

Es Statistics Help