Histograma de Distribución de Probabilidad

Una distribución de probabilidad describe, para una variable aleatoria discreta \(X\), qué probabilidad \(P(x)\) tiene cada valor posible \(x\). Un histograma de distribución de probabilidad es simplemente la representación gráfica de esa información: en el eje horizontal se colocan los valores de \(X\) y en el eje vertical la probabilidad \(P(x)\) asociada a cada uno. A diferencia de un histograma de frecuencias, aquí las barras siempre suman exactamente \(1\), porque representan el total de la probabilidad.

Este tipo de gráfico es muy útil porque permite ver de un vistazo la forma de la distribución (si es simétrica, si tiene un valor dominante, si está sesgada) antes de resumirla con números como la media, la varianza y la desviación estándar.

Cada barra del histograma tiene una altura igual a \(P(x)\) para ese valor de \(x\). Para comprobar que el histograma corresponde a una distribución de probabilidad válida, se deben cumplir dos condiciones:

\( 0 \le P(x) \le 1 \) para cada valor de \(x\), y \( \sum P(x) = 1 \) al sumar todas las barras.

Observa el siguiente histograma de una variable \(X\) que representa el número de éxitos obtenidos en un experimento, con valores posibles \(0, 1, 2\) y \(3\).

Las alturas son \(0.1\), \(0.3\), \(0.4\) y \(0.2\), y su suma es \(0.1+0.3+0.4+0.2 = 1\), por lo que el histograma sí corresponde a una distribución de probabilidad válida.

Una vez que se conoce la distribución, se puede resumir su comportamiento con tres valores:

La media (o valor esperado) indica el centro de la distribución: \( \mu = \sum x \cdot P(x) \).

La varianza mide qué tan dispersos están los valores respecto a la media: \( \sigma^2 = \sum (x-\mu)^2 \cdot P(x) \).

La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza y se expresa en las mismas unidades que \(X\): \( \sigma = \sqrt{\sigma^2} \).

Usando la distribución del histograma anterior, con valores \(x = 0, 1, 2, 3\) y probabilidades \(P(x) = 0.1, 0.3, 0.4, 0.2\), primero se calcula la media:

\( \mu = (0)(0.1) + (1)(0.3) + (2)(0.4) + (3)(0.2) = 0 + 0.3 + 0.8 + 0.6 = 1.7 \)

Después se calcula la varianza sumando el cuadrado de la diferencia entre cada valor y la media, multiplicado por su probabilidad:

\( \sigma^2 = (0-1.7)^2(0.1) + (1-1.7)^2(0.3) + (2-1.7)^2(0.4) + (3-1.7)^2(0.2) \)

\( \sigma^2 = (2.89)(0.1) + (0.49)(0.3) + (0.09)(0.4) + (1.69)(0.2) = 0.289 + 0.147 + 0.036 + 0.338 = 0.81 \)

Finalmente, la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza:

\( \sigma = \sqrt{0.81} = 0.9 \)

Esto significa que, en promedio, el número de éxitos es \(1.7\), y los valores se alejan de esa media en aproximadamente \(0.9\) unidades.

Estas mismas fórmulas de media, varianza y desviación estándar son la base para estudiar modelos de probabilidad más específicos. Por ejemplo, la Distribución binomial tiene su propia fórmula simplificada para la media y la desviación estándar, que puedes revisar en la lección sobre Media y desviación estándar de la distribución binomial. De forma similar, otros modelos discretos como la Distribución de Poisson también se resumen usando estos mismos conceptos, adaptados a la forma particular de cada distribución.

Antes de calcular la media o la varianza, siempre conviene revisar el histograma: confirma que todas las barras son probabilidades entre \(0\) y \(1\) y que su suma es \(1\). Después, aplica \( \mu = \sum x \cdot P(x) \) para el centro de la distribución, \( \sigma^2 = \sum (x-\mu)^2 \cdot P(x) \) para la dispersión, y \( \sigma = \sqrt{\sigma^2} \) para expresar esa dispersión en las unidades originales de \(X\).

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