Distribución de Poisson

La distribución de Poisson es un modelo de probabilidad discreta que describe cuántas veces ocurre un evento dentro de un intervalo fijo de tiempo, espacio o cualquier otra medida continua. Se usa cuando los eventos suceden de forma independiente entre sí y a una tasa promedio constante, sin que exista un límite superior fijo para el número de ocurrencias posibles.

Este modelo es especialmente útil para describir eventos "raros" o poco frecuentes, como el número de llamadas que recibe un centro de atención en un minuto, la cantidad de errores tipográficos por página o el número de partículas detectadas por un sensor en un segundo.

Si \( X \) es una variable aleatoria que sigue una distribución de Poisson con parámetro \( \lambda \) (la tasa promedio de ocurrencias en el intervalo), la probabilidad de observar exactamente \( k \) eventos es:

\( P(X = k) = \dfrac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!} \)

donde \( k = 0, 1, 2, 3, \ldots \), \( e \approx 2.71828 \) es la base del logaritmo natural y \( k! \) es el factorial de \( k \). El parámetro \( \lambda \) representa tanto la tasa promedio de eventos como el valor esperado de la variable.

Una propiedad distintiva de esta distribución es que la media y la varianza son siempre iguales al mismo parámetro:

\( \mu = \lambda \) y \( \sigma^2 = \lambda \)

Esto significa que, si conoces la tasa promedio de un fenómeno, ya conoces también su dispersión esperada, algo que no ocurre en otros modelos discretos como la distribución binomial.

• Los eventos ocurren de forma independiente entre sí.
• La tasa promedio \( \lambda \) de ocurrencia es constante en todo el intervalo.
• Dos eventos no pueden ocurrir exactamente en el mismo instante.
• El número de ocurrencias posibles no tiene un límite superior fijo.

Supón que un centro de atención telefónica recibe en promedio \( \lambda = 3 \) llamadas por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de recibir exactamente 5 llamadas en un minuto?

Sustituyendo en la fórmula: \( P(X = 5) = \dfrac{3^{5} e^{-3}}{5!} = \dfrac{243 \times 0.0498}{120} \approx 0.1008 \)

Es decir, hay aproximadamente un 10.1 por ciento de probabilidad de recibir exactamente 5 llamadas en ese minuto. Puedes repetir el mismo procedimiento para cualquier valor de \( k \) y así construir la distribución completa de probabilidades.

La distribución de Poisson suele confundirse con la distribución binomial porque ambas modelan conteos de eventos, pero la binomial requiere un número fijo de ensayos, mientras que Poisson trabaja con intervalos continuos y una tasa promedio. También está relacionada con la distribución geométrica, que mide el número de ensayos hasta obtener el primer éxito, y con la distribución hipergeométrica, usada cuando el muestreo se hace sin reemplazo de una población finita.

Este modelo se utiliza para describir situaciones como el número de llamadas a un servicio de emergencias en una hora, la cantidad de defectos encontrados en un metro de tela, el número de accidentes en un cruce por semana o la cantidad de mutaciones genéticas detectadas en una cadena de ADN. En todos estos casos, lo que importa es la tasa promedio de ocurrencia, no un número fijo de intentos.

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