Prueba de Hipótesis para la Media con la Prueba t de Student

Cuando queremos probar una afirmación sobre una media poblacional \( \mu \), pero no conocemos la desviación estándar poblacional \( \sigma \), no podemos usar la distribución normal estándar directamente. En su lugar, usamos la distribución t de Student, que se ajusta mejor a la incertidumbre adicional de estimar la desviación estándar a partir de la muestra (llamada \( s \)). Esta situación es muy común en la práctica, especialmente cuando el tamaño de la muestra \( n \) es pequeño.

Esta lección se enfoca únicamente en la mecánica de la prueba t para una media. Si todavía no tienes claro cómo se plantean las hipótesis o los pasos generales de una prueba, revisa primero hipótesis nula e hipótesis alternativa y prueba de hipótesis antes de continuar.

El estadístico de prueba t compara la media observada de la muestra \( \bar{x} \) con la media hipotética \( \mu_0 \), tomando en cuenta el error estándar estimado:

\( t = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} \)

donde \( s \) es la desviación estándar de la muestra y \( n \) es el tamaño de la muestra. Este valor de \( t \) se compara luego con un valor crítico de la distribución t, o se usa para calcular un valor p, tal como se explica en general en estadístico de prueba.

La forma exacta de la distribución t depende de los grados de libertad, calculados como:

\( df = n - 1 \)

Con pocos grados de libertad, la curva t es más achatada y con colas más gruesas que la distribución normal, porque hay más incertidumbre al estimar \( \sigma \) con una muestra pequeña. A medida que \( n \) crece, la distribución t se acerca cada vez más a la distribución normal estándar.

1. Plantea la hipótesis nula \( H_0: \mu = \mu_0 \) y la hipótesis alternativa correspondiente.
2. Elige el nivel de significancia \( \alpha \) y encuentra el valor crítico de t usando los grados de libertad; este proceso se detalla en niveles de confianza, niveles de significancia y valores críticos.
3. Calcula el estadístico de prueba \( t \) con los datos de la muestra.
4. Compara el estadístico t calculado con el valor crítico (o compara el valor p con \( \alpha \)).
5. Decide si rechazas o no rechazas \( H_0 \) y expresa la conclusión en el contexto del problema.

Una fábrica afirma que sus bombillas duran en promedio 500 horas. Se toma una muestra de \( n = 16 \) bombillas, obteniendo una media de \( \bar{x} = 485 \) horas y una desviación estándar muestral de \( s = 40 \) horas. Se quiere probar, con \( \alpha = 0.05 \), si la duración promedio real es diferente de 500 horas.

Las hipótesis son \( H_0: \mu = 500 \) y \( H_1: \mu \ne 500 \). Los grados de libertad son \( df = 16 - 1 = 15 \). El estadístico de prueba es:

\( t = \dfrac{485 - 500}{40/\sqrt{16}} = \dfrac{-15}{10} = -1.5 \)

Para \( df = 15 \) y una prueba de dos colas con \( \alpha = 0.05 \), el valor crítico aproximado es \( t \approx \pm 2.131 \). Como \( -1.5 \) está dentro del rango \( (-2.131,\ 2.131) \), no cae en la región crítica, así que no se rechaza \( H_0 \): no hay evidencia suficiente para afirmar que la duración promedio es distinta de 500 horas.

Si el tamaño de la muestra es grande (generalmente \( n \ge 30 \)) o si conocemos \( \sigma \), la distribución normal (prueba z) suele ser suficiente. La prueba t es la herramienta adecuada específicamente cuando \( \sigma \) es desconocida y debe estimarse con \( s \). Para practicar el razonamiento completo detrás de estas decisiones, incluyendo cómo formular afirmaciones y verificarlas con datos reales, revisa también verificando afirmaciones y prueba de hipótesis con valores "p".

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