El margen de error es el rango de valores alrededor de una estimación que probablemente contiene el valor real de la población. Esta lección explica su fórmula, su relación con el nivel de confianza y el tamaño de muestra, y cómo calcularlo con ejemplos.
¿Qué es el margen de error?
El margen de error es un número que indica cuánto puede alejarse una estimación puntual (como una media o una proporción de muestra) del verdadero valor de la población. Cuando se reporta un resultado como "48% más o menos 3%", ese "3%" es precisamente el margen de error: nos dice que el valor real probablemente está dentro de ese rango alrededor del 48%.
El margen de error siempre va acompañado de un nivel de confianza (por ejemplo, 95%), que indica qué tan seguros estamos de que el rango construido contiene el parámetro real de la población.
Fórmula del margen de error
Para una media poblacional cuando se conoce la desviación estándar \( \sigma \), el margen de error se calcula como
\( ME = z^* \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \)
donde \( z^* \) es el valor crítico asociado al nivel de confianza elegido, y \( n \) es el tamaño de la muestra. Si en su lugar se usa la desviación estándar de la muestra \( s \), la fórmula queda
\( ME = z^* \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}} \)
Para una proporción muestral \( \hat{p} \), el margen de error se obtiene con
\( ME = z^* \cdot \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \)
En ambos casos, el valor \( z^* \) se obtiene de la distribución normal estándar y depende directamente del nivel de confianza elegido. Puedes revisar cómo se eligen estos valores en la lección sobre niveles de confianza y valores críticos.
En una distribución normal estándar, los valores críticos \( z^* = \pm 1.96 \) delimitan el 95% central del área bajo la curva.
Cómo influye el tamaño de la muestra
Observa que \( n \) aparece dentro de una raíz cuadrada en el denominador de cada fórmula. Esto significa que, para reducir el margen de error a la mitad, no basta con duplicar el tamaño de muestra: hay que multiplicarlo por 4, ya que \( \sqrt{4n} = 2\sqrt{n} \). Por la misma razón, aumentar el nivel de confianza (por ejemplo, de 90% a 99%) también agranda el margen de error, porque el valor \( z^* \) crece.
Ejemplo resuelto
Una encuesta toma una muestra de \( n = 100 \) personas y obtiene una desviación estándar de la muestra \( s = 15 \). Para un nivel de confianza del 95%, el valor crítico es \( z^* = 1.96 \). El margen de error es
Si la media de la muestra fue \( \bar{x} = 50 \), el resultado se reporta como \( 50 \pm 2.94 \), es decir, entre 47.06 y 52.94.
Margen de error e intervalos de confianza
El margen de error es justamente la mitad del ancho de un intervalo de confianza: el intervalo completo se escribe como la estimación puntual más o menos el margen de error, es decir, \( \bar{x} \pm ME \) o \( \hat{p} \pm ME \). Cuanto más pequeño sea el margen de error, más preciso es el resultado obtenido, aunque esto no significa automáticamente que sea más confiable.