Distribución Hipergeométrica

La distribución hipergeométrica describe la probabilidad de obtener exactamente \(k\) éxitos al extraer una muestra de tamaño \(n\) de una población finita de tamaño \(N\), en la que \(K\) elementos son considerados "éxito" y el resto, "fracaso". La característica clave es que el muestreo se hace sin reemplazo: cada elemento extraído no vuelve a la población, así que la probabilidad de éxito cambia en cada extracción.

Esto la distingue de la distribución binomial, donde cada ensayo es independiente y la probabilidad de éxito \(p\) se mantiene constante porque se muestrea con reemplazo (o la población es tan grande que el efecto de no reponer los elementos es despreciable).

Si \(X\) es el número de éxitos obtenidos al extraer una muestra de tamaño \(n\), sin reemplazo, de una población de \(N\) elementos que contiene \(K\) éxitos, entonces la función de probabilidad es:

\( P(X=k) = \dfrac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}} \)

donde \(k\) puede tomar los valores enteros para los cuales \(\binom{K}{k}\) y \(\binom{N-K}{n-k}\) tienen sentido, es decir, \(k\) no puede superar \(K\) ni \(n\), y \(n-k\) no puede superar \(N-K\).

Cada término \(\binom{a}{b}\) es una combinación: el número de formas de elegir \(b\) elementos entre \(a\) sin importar el orden. En el numerador se cuentan las formas de elegir \(k\) éxitos entre los \(K\) disponibles y \(n-k\) fracasos entre los \(N-K\) restantes; en el denominador se cuentan todas las formas posibles de elegir la muestra de tamaño \(n\) entre los \(N\) elementos.

Antes de aplicar la fórmula conviene comprobar que se cumplen estas condiciones:

1. La población tiene un tamaño finito y conocido \(N\).

2. Cada elemento de la población pertenece a una de dos categorías: "éxito" (hay \(K\) en total) o "fracaso" (hay \(N-K\)).

3. Se extrae una muestra de tamaño fijo \(n\) sin devolver los elementos a la población, por lo que las extracciones no son independientes entre sí.

4. La variable de interés \(X\) cuenta el número de éxitos dentro de esa muestra.

Cuando la población es muy grande en comparación con la muestra, el efecto de no reponer los elementos se vuelve pequeño y la distribución hipergeométrica se puede aproximar mediante una distribución binomial con \(p = K/N\).

La media de una variable hipergeométrica indica cuántos éxitos se esperan, en promedio, en la muestra:

\( \mu = \dfrac{nK}{N} \)

La varianza incorpora un factor adicional, llamado factor de corrección para población finita, que refleja el hecho de que no hay reemplazo:

\( \sigma^2 = n\dfrac{K}{N}\dfrac{N-K}{N}\dfrac{N-n}{N-1} \)

Ese último factor \(\dfrac{N-n}{N-1}\) es siempre menor que 1 (salvo cuando \(n=1\)), por lo que la varianza hipergeométrica es más pequeña que la de una binomial con el mismo \(p=K/N\) y el mismo \(n\). Este comportamiento se puede comparar con lo estudiado en la distribución de probabilidad, histograma, media, varianza y desviación estándar.

Una caja contiene 10 componentes electrónicos, de los cuales 4 están defectuosos. Se seleccionan al azar 3 componentes, sin reemplazo, para revisarlos. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 2 de los seleccionados estén defectuosos?

Aquí \(N=10\), \(K=4\) (defectuosos), \(n=3\) y se busca \(P(X=2)\):

\( P(X=2) = \dfrac{\binom{4}{2}\binom{6}{1}}{\binom{10}{3}} \)

Se calcula cada combinación: \(\binom{4}{2}=6\), \(\binom{6}{1}=6\) y \(\binom{10}{3}=120\). Entonces:

\( P(X=2) = \dfrac{6 \times 6}{120} = \dfrac{36}{120} = 0.3 \)

Es decir, hay un 30 por ciento de probabilidad de encontrar exactamente 2 componentes defectuosos entre los 3 revisados.

Tanto la distribución hipergeométrica como la binomial cuentan "éxitos" en una serie de extracciones, pero se diferencian en un punto esencial: en la binomial la probabilidad de éxito \(p\) es constante en cada ensayo porque hay reemplazo (o independencia entre ensayos), mientras que en la hipergeométrica \(p\) cambia después de cada extracción porque la población se reduce. Otras distribuciones discretas, como la distribución geométrica, también describen conteos de éxitos, pero bajo condiciones de independencia distintas a las del muestreo sin reemplazo.

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