Niveles de Confianza y Valores Críticos

El nivel de confianza es el porcentaje de veces que, si repitiéramos el mismo proceso de muestreo muchas veces, el intervalo resultante contendría al verdadero parámetro poblacional. Los niveles más usados son 90%, 95% y 99%. Un nivel de confianza no dice "hay un 95% de probabilidad de que el parámetro esté en este intervalo particular"; en realidad describe qué tan confiable es el método a largo plazo.

Este concepto se usa junto con la estimación puntual de un parámetro, ya que el nivel de confianza indica cuánto margen debemos dejar alrededor de esa estimación para tener en cuenta la variabilidad del muestreo.

El valor crítico, denotado \( z^* \) (o \( t^* \) cuando se usa la distribución t), es el número de desviaciones estándar que separa el centro de la distribución de la frontera de la región de confianza. Si el nivel de confianza es \( 1 - \alpha \), entonces queda un área total \( \alpha \) repartida en las dos colas de la distribución, es decir \( \alpha/2 \) en cada cola cuando el intervalo es simétrico.

Formalmente, el valor crítico \( z^* \) es el número tal que:

\( P(-z^* < Z < z^*) = 1 - \alpha \)

donde \( Z \) es la variable normal estándar. Cuanto más alto es el nivel de confianza, más área central se necesita cubrir y, por lo tanto, mayor es el valor crítico.

La siguiente tabla resume los valores críticos que se usan con mayor frecuencia para la distribución normal estándar.

La gráfica siguiente muestra la curva de la distribución normal estándar. Las líneas marcan los valores críticos \( -1.96 \) y \( 1.96 \), que dejan un 2.5% de área en cada cola y un 95% de área central, correspondiente a un nivel de confianza del 95%.

Para un nivel de confianza distinto, la única diferencia es dónde se colocan esas líneas: se mueven hacia afuera si el nivel de confianza aumenta, y hacia adentro si disminuye.

Se quiere un intervalo de confianza del 95% para la media de una población, usando una muestra con media \( \bar{x} = 50 \) y error estándar \( \sigma_{\bar{x}} = 2 \).

Paso 1: Como el nivel de confianza es 95%, se tiene \( \alpha = 0.05 \), por lo que \( \alpha/2 = 0.025 \) en cada cola.

Paso 2: Buscando el área de \( 0.025 \) en cada cola en la tabla normal estándar, se obtiene el valor crítico \( z^* = 1.96 \).

Paso 3: El valor crítico se multiplica por el error estándar para obtener el margen de error: \( 1.96 \times 2 = 3.92 \).

Paso 4: Ese margen se suma y resta a la estimación puntual para completar el intervalo, tal como se explica en creando un intervalo de confianza: \( 50 \pm 3.92 \), es decir, de \( 46.08 \) a \( 53.92 \).

El nivel de confianza fija cuánta área central de la distribución se quiere cubrir, y el valor crítico es el número exacto de desviaciones estándar necesario para lograr esa cobertura. Ambos elementos, junto con el error estándar, son los ingredientes que permiten pasar de una estimación puntual a un intervalo de confianza completo.

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