Distribución Binomial

La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que describe el número de éxitos que se obtienen al repetir un experimento un número fijo de veces. Cada repetición se llama ensayo, y en cada ensayo solo hay dos resultados posibles: éxito o fracaso. Esta distribución aparece constantemente en problemas donde se cuenta cuántas veces ocurre algo (por ejemplo, cuántas monedas caen cara o cuántos productos salen defectuosos) dentro de un número determinado de intentos.

Antes de aplicar la fórmula, hay que confirmar que el experimento cumple estas cuatro condiciones, conocidas como ensayos de Bernoulli:

• El número de ensayos \( n \) es fijo y conocido de antemano.
• Cada ensayo tiene únicamente dos resultados posibles: éxito o fracaso.
• La probabilidad de éxito \( p \) es la misma en todos los ensayos.
• Los ensayos son independientes entre sí, es decir, el resultado de uno no afecta a los demás.

Si alguna de estas condiciones no se cumple, conviene revisar otros modelos relacionados, como la distribución geométrica (cuando interesa el ensayo en el que ocurre el primer éxito) o la distribución hipergeométrica (cuando los ensayos no son independientes porque se elige sin reemplazo).

Si \( X \) es el número de éxitos en \( n \) ensayos independientes con probabilidad de éxito \( p \) en cada uno, la probabilidad de obtener exactamente \( k \) éxitos es:

\( P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \)

donde \( k = 0, 1, 2, \ldots, n \) y el coeficiente binomial \( \binom{n}{k} \) cuenta de cuántas formas distintas se pueden acomodar \( k \) éxitos entre los \( n \) ensayos. Este coeficiente se calcula como \( \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} \). El factor \( p^k \) representa la probabilidad de que ocurran esos \( k \) éxitos, y \( (1-p)^{n-k} \) representa la probabilidad de que los \( n-k \) ensayos restantes sean fracasos.

Se lanza una moneda equilibrada 5 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 caras?

Aquí \( n = 5 \), \( p = 0.5 \) y se busca \( P(X=3) \). Primero se calcula el coeficiente binomial: \( \binom{5}{3} = 10 \). Luego se sustituye en la fórmula:

\( P(X=3) = \binom{5}{3} (0.5)^3 (0.5)^2 = 10 \times 0.125 \times 0.25 = 0.3125 \)

Es decir, hay una probabilidad de \( 0.3125 \) (un \( 31.25\% \)) de obtener exactamente 3 caras en 5 lanzamientos.

Con \( n = 5 \) y \( p = 0.5 \), la probabilidad de cada valor posible de \( X \) forma una distribución simétrica, como muestra el siguiente diagrama de barras:

Una vez que dominas la fórmula de probabilidad, el siguiente paso natural es calcular el valor esperado y la dispersión de \( X \); esto se explica en detalle en media y desviación estándar de la distribución binomial. También conviene distinguir la distribución binomial de otros modelos discretos con los que suele confundirse, como la distribución de Poisson, que se usa cuando se cuentan eventos raros en un intervalo continuo en lugar de un número fijo de ensayos.

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