Introducción a las Transformaciones en el Plano

Una transformación es una regla que toma una figura original, llamada preimagen, y produce una nueva figura llamada imagen. Esta idea aparece constantemente en el estudio de las transformaciones en el plano: cada punto de la preimagen se mueve o se ajusta siguiendo una regla fija, ya sea de coordenadas o una descripción geométrica. Entender esta introducción es el punto de partida para temas más específicos como la \(simetría lineal\) o la \(simetría rotacional\), donde se estudian propiedades particulares de ciertas transformaciones.

Antes de avanzar conviene tener claro cómo se miden los desplazamientos entre puntos en el plano, algo que se trabaja en distancias horizontales y verticales, porque casi toda transformación se describe en términos de cuánto se mueve una figura hacia la derecha, la izquierda, arriba o abajo.

Una traslación desliza cada punto de una figura la misma distancia y en la misma dirección, sin girarla ni voltearla. Si un punto tiene coordenadas \( (x, y) \), la regla general de una traslación es \( (x, y) \)→\( (x + a, y + b) \), donde \( a \) mueve el punto horizontalmente y \( b \) lo mueve verticalmente.

Una reflexión voltea una figura sobre una línea llamada eje de reflexión, como si fuera un espejo. Cuando el eje es el eje x, la regla de coordenadas es \( (x, y) \)→\( (x, -y) \); cuando el eje es el eje y, la regla es \( (x, y) \)→\( (-x, y) \). La distancia de cada punto al eje se conserva, pero la orientación de la figura se invierte. Este comportamiento es la base de la simetría lineal, donde una figura coincide con su propia imagen reflejada.

Una rotación gira una figura alrededor de un punto fijo llamado centro de rotación, un cierto ángulo y en una dirección (horaria o antihoraria). Por ejemplo, al rotar 90 grados en sentido antihorario alrededor del origen, la regla es \( (x, y) \)→\( (-y, x) \). Si el mismo giro devuelve la figura sobre sí misma antes de completar una vuelta completa, se dice que tiene simetría rotacional; este caso especial se estudia en detalle en simetría rotacional y transformaciones.

A diferencia de las traslaciones, reflexiones y rotaciones, una dilatación cambia el tamaño de la figura mientras conserva su forma. Cada punto se multiplica por un factor de escala \( k \) medido desde un centro de dilatación, con la regla \( (x, y) \)→\( (kx, ky) \) cuando el centro es el origen. Si \( k > 1 \) la figura crece, y si \( 0 < k < 1 \) la figura se reduce.

Las traslaciones, reflexiones y rotaciones se agrupan bajo el nombre de isometrías porque la imagen resultante siempre tiene el mismo tamaño y la misma forma que la preimagen, solo cambia su posición u orientación. La dilatación no es una isometría porque modifica el tamaño. Reconocer esta diferencia ayuda a clasificar cualquier transformación que aparezca en un problema.

Un triángulo tiene vértices \( A(1, 2) \), \( B(4, 2) \) y \( C(4, 5) \). Aplica la traslación \( (x, y) \)→\( (x + 3, y - 1) \).

Sumando 3 a cada coordenada x y restando 1 a cada coordenada y se obtiene: \( A'(4, 1) \), \( B'(7, 1) \) y \( C'(7, 4) \). Como es una traslación, el triángulo A'B'C' tiene exactamente el mismo tamaño y la misma forma que el triángulo original, solo cambia de posición.

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