Teorema del Sandwich

El teorema del sandwich (también llamado teorema de compresión o teorema del emparedado) es una herramienta que permite calcular el límite de una función cuando no se puede evaluar directamente, atrapándola entre otras dos funciones cuyo límite sí conocemos. Si esas dos funciones "aprietan" a la función original y ambas se acercan al mismo valor, entonces la función del medio no tiene escapatoria: también debe acercarse a ese valor.

Formalmente, si \( g(x) \le f(x) \le h(x) \) para todo \( x \) cerca de un punto \( a \) (excepto quizás en \( a \) mismo), y además

\( \lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L \)

entonces se concluye que \( \lim_{x \to a} f(x) = L \). Es un resultado muy visual: imagina a \( f(x) \) atrapada entre dos rebanadas de pan, \( g(x) \) por debajo y \( h(x) \) por arriba, que se aplastan una contra la otra en \( x = a \).

El teorema del sandwich se usa cuando una función tiene un comportamiento difícil de analizar directamente, por ejemplo cuando incluye un término oscilante como \( \sin \) o \( \cos \) evaluado en una expresión que se dispara, o cuando la sustitución directa produce una forma indeterminada como \( \frac{0}{0} \). En vez de manipular esa expresión, buscamos dos funciones más simples que la acoten y cuyo límite conozcamos con seguridad.

Para aplicar correctamente este método sigue este orden:

1. Identifica la función \( f(x) \) cuyo límite quieres calcular y detecta la parte que causa el problema (por ejemplo, un seno o coseno).

2. Encuentra una desigualdad conocida (como \( -1 \le \sin(\theta) \le 1 \)) y multiplícala o manipúlala algebraicamente hasta obtener \( g(x) \le f(x) \le h(x) \).

3. Calcula \( \lim_{x \to a} g(x) \) y \( \lim_{x \to a} h(x) \) por separado, normalmente por sustitución directa.

4. Si ambos límites coinciden en un mismo valor \( L \), concluye que \( \lim_{x \to a} f(x) = L \) también.

Calculemos \( \lim_{x \to 0} x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right) \). El término \( \sin(1/x) \) oscila sin cesar cerca de \( x = 0 \) y no tiene límite propio ahí, así que no podemos sustituir directamente. Sin embargo, siempre se cumple que

\( -1 \le \sin\left(\frac{1}{x}\right) \le 1 \)

Multiplicando toda la desigualdad por \( x^2 \) (que siempre es positivo o cero), se conserva el sentido de las desigualdades:

\( -x^2 \le x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right) \le x^2 \)

Ahora evaluamos las dos cotas cuando \( x \to 0 \): tanto \( -x^2 \) como \( x^2 \) tienden a \( 0 \). Como la función original está atrapada entre dos funciones que convergen a \( 0 \), por el teorema del sandwich

\( \lim_{x \to 0} x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0 \)

Un límite clásico que se demuestra con este teorema es \( \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} \). Aunque la sustitución directa da la forma indeterminada \( \frac{0}{0} \), con un argumento geométrico (comparando áreas de triángulos y sectores circulares) se demuestra que, para \( x \) cerca de \( 0 \) y \( x \ne 0 \):

\( \cos x \le \dfrac{\sin x}{x} \le 1 \)

Como \( \lim_{x \to 0} \cos x = 1 \) y el límite de la función constante \( 1 \) también es \( 1 \), ambas cotas se encuentran en el mismo valor. Por el teorema del sandwich,

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 \)

El teorema del sandwich no exige que \( f \) sea continua en \( a \): funciona incluso si \( f(a) \) no existe, como en el segundo ejemplo. Sin embargo, una vez que conoces el límite, puedes usar esa información junto con el concepto de continuidad para decidir si la función se puede extender de forma continua en ese punto. También es útil comparar tu resultado algebraico con lo que observas al encontrar límites en gráficas, ya que visualizar las tres funciones (la del medio y las dos cotas) ayuda a confirmar que el resultado tiene sentido.

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