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Regla de la potencia

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Regla de la Potencia para Derivar

La regla de la potencia es uno de los metodos mas usados en calculo diferencial para derivar funciones de la forma x elevado a n. En esta leccion se explica su formula, se demuestra a partir de la definicion de derivada y se resuelven ejemplos con exponentes positivos, negativos y fraccionarios.

Que es la regla de la potencia

La regla de la potencia es la herramienta mas basica y mas usada para derivar funciones de la forma \( f(x) = x^n \), donde \( n \) es cualquier numero real (entero positivo, entero negativo o fraccion). En lugar de recurrir cada vez a la definicion de derivada con limites, esta regla permite obtener la derivada en un solo paso.

La formula es la siguiente:

\( \dfrac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1} \)

En palabras: se toma el exponente original, se coloca como coeficiente multiplicando a la variable, y luego se resta 1 al exponente. Este procedimiento se repite igual sin importar si el exponente es positivo, negativo o fraccionario.

xn funcion original n · xn − 1 bajar el exponente y restar 1 Paso 1: n baja como coeficiente Paso 2: el nuevo exponente es n − 1
Esquema de los dos pasos de la regla de la potencia.

La regla de la potencia se puede demostrar formalmente usando la definicion de derivada mediante limites, pero en la practica basta con memorizar el resultado y aplicarlo directamente. Para exponentes enteros pequenos, la formula se puede verificar expandiendo \( (x+h)^n \) con el binomio de Newton y tomando el limite cuando \( h \) tiende a 0; el resultado siempre coincide con \( nx^{n-1} \).

Deriva \( f(x) = x^5 \).

Se baja el exponente 5 como coeficiente y se resta 1 al exponente: \( f'(x) = 5x^{5-1} = 5x^4 \).

Deriva \( f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 7x - 6 \).

La regla de la potencia se combina con la regla de la suma, derivando cada termino por separado:

\( f'(x) = 12x^2 - 4x + 7 \)

Nota que la derivada de un termino constante como \( -6 \) siempre es 0, porque no hay variable que multiplicar.

Deriva \( f(x) = x^{-3} \).

Se aplica la misma formula sin importar el signo del exponente:

\( f'(x) = -3x^{-3-1} = -3x^{-4} \)

Deriva \( f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} \).

\( f'(x) = \dfrac{1}{2}x^{(1/2)-1} = \dfrac{1}{2}x^{-1/2} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \)

Una vez obtenida la derivada con la regla de la potencia, se puede evaluar en un punto especifico para encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

Por ejemplo, para \( f(x) = x^3 \), la derivada es \( f'(x) = 3x^2 \). En \( x = 2 \), la pendiente de la tangente es \( f'(2) = 3(2)^2 = 12 \).

Grafica de f de x igual a x al cubo con el punto de evaluacion en x = 2 Plot of y = x**3 for x in [-2.5, 3] -2 -1 0 1 2 3 -20 -10 0 10 20 30 x f(x) x = 2
Grafica de \( f(x) = x^3 \) con el punto de evaluacion en x igual a 2.

La regla de la potencia solo se aplica a una sola potencia de x, no a productos ni cocientes de funciones. Si la funcion es un producto de dos expresiones, se necesita la regla del producto; si es un cociente, se usa la regla del cociente; y si la potencia envuelve a otra funcion, como en \( (3x^2+1)^4 \), se necesita la regla de la cadena junto con la regla de la potencia.

Un error frecuente es olvidar restar 1 al exponente y dejar el mismo exponente original. Otro error es aplicar la regla directamente a una suma dentro de un exponente sin reescribir la expresion, por ejemplo confundir \( (x+1)^2 \) con \( x^2 + 1 \). Tambien es comun olvidar que la derivada de una constante sola siempre es 0.

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