En este tema aprenderás a resolver problemas de optimización aplicando derivadas: cómo plantear la función objetivo a partir de las restricciones del problema, encontrar los puntos críticos igualando la derivada a cero, y confirmar si corresponden a un máximo o un mínimo mediante la segunda derivada.
¿Qué es la optimización en cálculo?
La optimización es una de las aplicaciones más prácticas de las derivadas. Su objetivo es encontrar el valor máximo o mínimo posible de una cantidad (un área, un volumen, un costo, un tiempo) que depende de una o más variables relacionadas entre sí. Detrás de cada problema de optimización hay una función, llamada función objetivo, que queremos maximizar o minimizar sujeta a ciertas restricciones.
Este tema se apoya directamente en el análisis de puntos críticos, máximos y mínimos, ya que los candidatos a solución óptima siempre se buscan entre los puntos donde \( f'(x) = 0 \) o donde la derivada no existe.
Pasos para resolver un problema de optimización
Aunque cada problema tiene su propio contexto (geometría, economía, física), casi todos se resuelven siguiendo la misma estrategia:
Dibuja o describe la situación. Identifica qué cantidad quieres maximizar o minimizar y qué variables intervienen.
Escribe la función objetivo. Exprésala en términos de las variables del problema, por ejemplo un área \( A \) o un costo \( C \).
Usa las restricciones para reducir a una sola variable. Si tienes una ecuación que relaciona dos variables, despeja una de ellas y sustitúyela en la función objetivo.
Deriva e iguala a cero. Calcula \( f'(x) \) y resuelve \( f'(x) = 0 \) para encontrar los puntos críticos dentro del dominio permitido.
Clasifica el resultado. Usa el criterio de la segunda derivada, un análisis de signos, o compara con los extremos del intervalo, para confirmar si el punto crítico da un máximo o un mínimo.
Ejemplo resuelto: área máxima de un rectángulo
Supón que tienes 40 metros de cerca y quieres construir un corral rectangular con el área más grande posible. Si \( x \) es uno de los lados, el perímetro nos dice que el lado adyacente mide \( 20 - x \), porque \( 2x + 2(20 - x) = 40 \).
La función objetivo (el área) queda en una sola variable:
\( A(x) = x(20 - x) = 20x - x^2 \), con \( 0 \le x \le 20 \).
Derivamos e igualamos a cero:
\( A'(x) = 20 - 2x \), entonces \( 20 - 2x = 0 \) da \( x = 10 \).
Como \( A''(x) = -2 \) es negativa para todo \( x \), el punto \( x = 10 \) corresponde a un máximo. El rectángulo óptimo es un cuadrado de lado 10, con área \( A(10) = 100 \).
Gráfica del área \( A(x) = 20x - x^2 \). El máximo ocurre en \( x = 10 \).
Cómo distinguir un máximo de un mínimo
No todo punto crítico es la solución que buscamos: algunos son mínimos, otros son máximos, y otros ni siquiera son extremos. Por eso, después de resolver \( f'(x) = 0 \) siempre debes clasificar el resultado, usando alguno de estos métodos:
Segunda derivada: si \( f''(x) > 0 \) el punto es un mínimo; si \( f''(x) < 0 \) es un máximo.
Análisis de signos: observa si \( f'(x) \) cambia de positiva a negativa (máximo) o de negativa a positiva (mínimo) alrededor del punto crítico.
Extremos del intervalo: en problemas con dominio cerrado, compara el valor de la función en los extremos con el valor en los puntos críticos.
La optimización se confunde a veces con las tasas de cambio relacionadas, pero son conceptos distintos: en tasas relacionadas todas las cantidades cambian con el tiempo y buscamos una razón de cambio, mientras que en optimización buscamos el valor extremo de una cantidad fija en el tiempo, sujeta a restricciones. Reconocer esta diferencia te ayudará a elegir el enfoque correcto frente a un problema de aplicación de derivadas.