La aproximación lineal, también llamada linealización, usa la recta tangente a una función en un punto para estimar valores cercanos a ese punto sin calcular la función original, aplicando la fórmula L de x igual a f de a más f prima de a por x menos a.
¿Qué es la aproximación lineal?
La aproximación lineal (también llamada linealización de una función) es una técnica del cálculo diferencial que permite estimar el valor de una función cerca de un punto conocido, usando la recta tangente en ese punto en lugar de la curva original. Como la recta tangente y la función se parecen mucho cuando estamos muy cerca del punto de tangencia, podemos reemplazar temporalmente una función complicada por una recta, mucho más fácil de evaluar.
Esta idea es una de las aplicaciones más directas de la derivada: si conocemos \( f(a) \) y la pendiente \( f'(a) \) en un punto \( a \), podemos construir una recta que aproxima muy bien los valores de \( f(x) \) para \( x \) cercano a \( a \).
Fórmula de linealización
La aproximación lineal (o linealización) de una función \( f \) en un punto \( x = a \) se define como:
\( L(x) = f(a) + f'(a)(x - a) \)
Esta expresión es, literalmente, la ecuación de la recta tangente a \( f \) en el punto \( a \). El término \( f(a) \) es el valor de la función en ese punto, y \( f'(a) \) es la pendiente de la tangente, es decir, la derivada evaluada en \( a \).
La curva \( f(x) = \sqrt{x} \) y el punto de tangencia en \( a = 4 \).
Pasos para encontrar la aproximación lineal
Para linealizar una función en un punto \( a \) sigue estos pasos:
Identifica el punto \( a \) donde se centrará la aproximación y el valor \( x \) que quieres estimar.
Calcula \( f(a) \), el valor exacto de la función en ese punto.
Encuentra la derivada \( f'(x) \) y evalúala en \( a \) para obtener \( f'(a) \).
Sustituye ambos valores en \( L(x) = f(a) + f'(a)(x - a) \).
Evalúa \( L(x) \) en el valor deseado para obtener la aproximación.
Ejemplo resuelto
Aproxima el valor de \( \sqrt{4.1} \) usando la linealización de \( f(x) = \sqrt{x} \) en \( a = 4 \).
Primero, \( f(4) = \sqrt{4} = 2 \). Luego, la derivada es \( f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \), y evaluada en \( a = 4 \) da \( f'(4) = \dfrac{1}{4} \).
La linealización queda como \( L(x) = 2 + \dfrac{1}{4}(x - 4) \). Para estimar \( \sqrt{4.1} \), sustituimos \( x = 4.1 \):
El valor real de \( \sqrt{4.1} \) es aproximadamente \( 2.0248 \), muy cercano a la estimación obtenida con la recta tangente. Esto muestra por qué la aproximación lineal funciona tan bien cuando \( x \) está cerca de \( a \).
Recta de linealización \( L(x) = 2 + 0.25(x - 4) \) cerca de \( a = 4 \) y \( x = 4.1 \).
Diferenciales y error de aproximación
La aproximación lineal está estrechamente ligada al concepto de diferencial. Si escribimos \( \Delta x = x - a \), el cambio aproximado en \( y \) se calcula como \( dy = f'(a)\,\Delta x \), y el error de la aproximación es simplemente la diferencia entre el valor real \( f(x) \) y el estimado \( L(x) \). Mientras más pequeño sea \( \Delta x \), menor será ese error, porque la recta tangente y la curva se separan menos cerca del punto de tangencia.
Aplicaciones de la aproximación lineal
La linealización aparece en muchos temas posteriores del cálculo. Se usa para estudiar el comportamiento de una función cerca de sus puntos críticos, máximos y mínimos, para justificar métodos de optimización de funciones, y como herramienta previa al análisis más detallado que se hace al dibujar gráficas de funciones con sus derivadas. En todos estos casos, la idea central es la misma: cerca de un punto, una función se comporta de manera muy parecida a su recta tangente.