Cómo Encontrar Límites Algebraicamente por Sustitución Directa

La sustitución directa es el método más sencillo y rápido para calcular un límite. Consiste en tomar la función \( f(x) \) y reemplazar la variable \( x \) directamente por el valor \( a \) al que tiende, es decir, evaluar \( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \). Cuando la función es continua en \( x = a \), este resultado coincide exactamente con el valor del límite, sin necesidad de tablas de valores ni de analizar la gráfica de la función.

Este método funciona siempre que la función sea continua en el punto \( x = a \). Esto ocurre en los siguientes casos comunes:

• Funciones polinomiales, para cualquier valor de \( a \), ya que son continuas en todos los números reales.
• Funciones racionales \( \dfrac{p(x)}{q(x)} \), siempre que \( q(a) \ne 0 \).
• Funciones radicales, siempre que el valor resultante dentro de la raíz sea válido en el dominio (por ejemplo, no negativo si es raíz cuadrada).
• Funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas dentro de su dominio natural.

Este tema es la base de la continuidad, ya que la definición formal de continuidad establece precisamente que \( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \).

1. Identifica el valor \( a \) al que tiende \( x \).
2. Sustituye \( x = a \) directamente en la expresión de la función.
3. Simplifica la expresión numérica resultante.
4. Si obtienes un número real definido, ese es el valor del límite.
5. Si obtienes una forma como \( \dfrac{0}{0} \), la sustitución directa no es suficiente y se necesita otra técnica.

Calcula \( \lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 4) \).

Sustituyendo \( x = 2 \): \( (2)^2 - 3(2) + 4 = 4 - 6 + 4 = 2 \). Por lo tanto, \( \lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 4) = 2 \).

Calcula \( \lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 5} \).

Como el denominador no se anula en \( x = 3 \) (ya que \( 3 - 5 = -2 \ne 0 \)), se puede sustituir directamente: \( \dfrac{(3)^2 - 9}{3 - 5} = \dfrac{0}{-2} = 0 \). Entonces \( \lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 5} = 0 \).

Calcula \( \lim_{x \to 4} \sqrt{x + 5} \).

Sustituyendo \( x = 4 \): \( \sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3 \). Como el valor dentro de la raíz es positivo, la sustitución es válida y \( \lim_{x \to 4} \sqrt{x + 5} = 3 \).

Si al sustituir obtienes una forma indeterminada, como \( \dfrac{0}{0} \), la sustitución directa por sí sola no da el valor del límite. En esos casos necesitas técnicas adicionales, como factorización o racionalización, que se explican en la lección encontrando límites algebraicamente cuando la sustitución directa no es posible.

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