Estimación de Derivadas a partir de una Tabla de Valores

No siempre se conoce la fórmula explícita de una función. En muchos problemas reales (velocidad de un vehículo registrada cada segundo, temperatura medida cada hora, población medida cada año) solo se tiene una tabla de valores de \(x\) y \(f(x)\). Aun así, es posible obtener una aproximación de la derivada en un punto usando los valores cercanos de la tabla, sin necesidad de derivar ninguna fórmula.

Esta idea está directamente relacionada con la definición de derivada como límite de un cociente de diferencias. Cuando no podemos calcular ese límite exactamente, usamos un intervalo pequeño y finito \(h\) en lugar de dejar que \(h\) tienda a cero, y así obtenemos una estimación razonable de \(f'(x)\).

Dada una tabla con valores de \(x\) espaciados uniformemente y sus correspondientes \(f(x)\), existen tres formas comunes de estimar \(f'(x)\) en un punto dado:

Usa el valor actual y el siguiente valor de la tabla:

\( f'(x) \approx \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \)

Este método usa la pendiente de la recta secante que pasa por \((x, f(x))\) y por el punto siguiente \((x+h, f(x+h))\).

Usa el valor actual y el valor anterior de la tabla:

\( f'(x) \approx \dfrac{f(x) - f(x-h)}{h} \)

Aquí la secante pasa por el punto anterior \((x-h, f(x-h))\) y el punto actual \((x, f(x))\). Ambos métodos, hacia adelante y hacia atrás, se relacionan con la pendiente de la línea tangente: cuanto más pequeño sea \(h\), más se acerca la secante a la tangente real.

Combina el punto anterior y el siguiente, dejando fuera el valor central:

\( f'(x) \approx \dfrac{f(x+h) - f(x-h)}{2h} \)

La diferencia centrada suele dar la mejor aproximación porque promedia la inclinación de la curva en ambos lados del punto de interés, en lugar de inclinarse hacia un solo lado.

Considera la siguiente tabla de valores de una función \(f\):

Para estimar \(f'(3)\) usando diferencia hacia adelante con \(h = 1\), se usan los puntos \(x = 3\) y \(x = 4\):

\( f'(3) \approx \dfrac{17 - 10}{1} = 7 \)

Para estimar \(f'(3)\) usando diferencia hacia atrás con \(h = 1\), se usan los puntos \(x = 2\) y \(x = 3\):

\( f'(3) \approx \dfrac{10 - 5}{1} = 5 \)

Para estimar \(f'(3)\) usando diferencia centrada con \(h = 1\), se usan los puntos \(x = 2\) y \(x = 4\):

\( f'(3) \approx \dfrac{17 - 5}{2} = 6 \)

Si esta tabla proviene de la función \(f(x) = x^2 + 1\), la derivada exacta es \(f'(x) = 2x\), así que \(f'(3) = 6\). La diferencia centrada coincide exactamente con el valor real en este caso, mientras que las diferencias hacia adelante y hacia atrás quedan por encima y por debajo, respectivamente.

El error de las diferencias hacia adelante y hacia atrás es proporcional a \(h\), lo que se escribe como \(O(h)\). El error de la diferencia centrada es proporcional a \(h^2\), es decir \(O(h^2)\), lo cual significa que al reducir \(h\) a la mitad, el error de la diferencia centrada se reduce mucho más rápido que el de los otros dos métodos. Por esta razón, siempre que la tabla lo permita (es decir, siempre que existan valores tanto antes como después del punto de interés), conviene usar la diferencia centrada.

Cuando el punto de interés está al inicio o al final de la tabla, no existe un valor anterior o posterior, y en esos casos es obligatorio usar la diferencia hacia adelante o hacia atrás según corresponda.

Estimar derivadas desde una tabla es un método numérico, útil cuando no se dispone de una expresión algebraica. Cuando sí se tiene una fórmula explícita, se pueden usar reglas exactas de derivación, como la regla de la cadena, para calcular \(f'(x)\) sin aproximaciones. Comparar ambos enfoques ayuda a entender mejor qué representa realmente una derivada: la pendiente instantánea de una curva en un punto.

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