Problemas Razonados sobre Graficar Ecuaciones Lineales

Un problema razonado sobre graficar ecuaciones lineales te presenta una situación de la vida real (el costo de un servicio, la distancia recorrida por un vehículo, el llenado de un tanque, etc.) y te pide traducir esa información en una ecuación lineal para después representarla en un plano cartesiano. A diferencia de un ejercicio puramente algebraico, aquí el reto principal es identificar qué cantidad depende de cuál, reconocer la pendiente \(m\) y el intercepto \(b\) escondidos en el enunciado, y usarlos para construir la gráfica correcta.

1. Lee el problema completo y define con claridad la variable independiente \(x\) y la variable dependiente \(y\).
2. Busca un valor fijo o inicial en el enunciado: normalmente corresponde al intercepto \(b\), es decir, el valor de \(y\) cuando \(x = 0\).
3. Busca la razón de cambio, o sea cuánto aumenta o disminuye \(y\) por cada unidad que cambia \(x\): esa cantidad es la pendiente \(m\).
4. Escribe la ecuación en la forma pendiente-intercepto \(y = mx + b\).
5. Construye una tabla de valores y traza la recta en el plano cartesiano, etiquetando ambos ejes según el contexto del problema.
6. Interpreta la gráfica: responde la pregunta original usando el punto o la parte de la recta correspondiente.

La mayoría de los problemas razonados dan la información de dos maneras: como un valor inicial más una tarifa por unidad, o como dos situaciones distintas (dos pares de datos) que debes convertir en puntos \((x_1, y_1)\) y \((x_2, y_2)\). Si el problema te da dos puntos, puedes calcular la pendiente aplicando la ecuación de la pendiente \(m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\), y luego usar la forma punto-pendiente \(y - y_1 = m(x - x_1)\) para escribir la ecuación antes de pasarla a la forma pendiente-intercepto.

Una tienda cobra 20 dólares por rentar una bicicleta durante un día, más 5 dólares por cada hora adicional de uso. Si \(x\) representa las horas adicionales y \(y\) representa el costo total en dólares, el enunciado ya te da el intercepto (\(b = 20\), el cargo fijo) y la pendiente (\(m = 5\), el costo por hora). La ecuación queda:

\(y = 5x + 20\)

Para graficarla, marca el intercepto en \((0, 20)\) y luego sube 5 unidades en \(y\) por cada unidad que avances en \(x\). Observa la gráfica siguiente, donde también se marca el punto correspondiente a 3 horas adicionales.

Si la pregunta fuera "¿cuánto cuesta rentar la bicicleta por 3 horas adicionales?", basta con leer el valor de \(y\) cuando \(x = 3\): sustituyendo se obtiene \(y = 5(3) + 20 = 35\) dólares, el mismo valor que muestra el punto marcado en la gráfica.

Un tanque de agua tenía 40 litros a los 2 minutos de empezar a llenarse y 100 litros a los 8 minutos. Aquí el problema no da directamente el intercepto, sino dos pares de datos: \((2, 40)\) y \((8, 100)\). Primero se calcula la pendiente:

\(m = \dfrac{100 - 40}{8 - 2} = \dfrac{60}{6} = 10\)

Después se usa la forma punto-pendiente con uno de los puntos, por ejemplo \((2, 40)\):

\(y - 40 = 10(x - 2)\)

Al despejar \(y\) se obtiene \(y = 10x + 20\), que ya está en forma pendiente-intercepto y lista para graficar. Si el problema pide la ecuación en otra presentación, también puedes convertirla a la forma general \(Ax + By + C = 0\).

Antes de trazar cualquier recta conviene organizar la información del enunciado. El siguiente esquema resume qué parte del problema corresponde a cada elemento de la ecuación.

• Confundir cuál cantidad es la variable independiente y cuál es la dependiente, lo que invierte los ejes de la gráfica.
• Olvidar que el dominio de un problema real casi siempre está limitado (por ejemplo, no pueden existir horas negativas), por lo que la recta solo tiene sentido en una parte del plano.
• Calcular la pendiente restando los valores en el orden equivocado, lo que cambia el signo de \(m\).
• Trazar la recta sin verificar con una tabla de valores, lo que puede llevar a gráficas con la inclinación o el intercepto incorrectos.

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